Zentral-Abitur: Mathe-Aufgabe unlösbar

Egal, ob Nowicki 10 Würfe macht oder 10000.

Jeder Wurf kann als Beginn einer Serie aus 5

Würfen betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 Würfe Treffer sind beträgt 60,3... Prozent,

die Wahrscheinlichkeit, dass dies nicht der Fall ist 39,7... Prozent.

Kann mir jemand sagen, was daran falsch ist ?

Klar. Wenn Du z.B. 10 Würfe hast, dann kann Deine Serie mit dem ersten, zweiten,..., siebten Wurf beginnen (bzw. noch später, es geht ja um höchstens vier, was 0, 1, 2, 3 Treffer auch mit einschließt). D.h. je mehr Gesamtwürfe, desto wahrscheinlicher das Vorkommen einer Viererserie.

Zunächst die Aufgabenstellung

„Aufgabenstellung: Der deutsche Basketball-Profi Dirk Nowitzki spielt in der amerikanischen Profiliga NBA beim Club Dallas Mavericks. In der Saison 2006/2007 erzielte er bei Freiwürfen eine Trefferquote von 90,4 %.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er

(1) genau 8 Treffer bei 10 Versuchen erzielt,

(2) höchstens 8 Treffer bei 10 Versuchen erzielt,

(3) höchstens vier Mal nacheinander bei Freiwürfen erfolgreich ist. (12 Punkte).“

Nehmen wir an er wirtf 10 mal, dann kann er Wurf Nummer 1 bis 4 treffen, oder 2 bis 5 oder 3 bis 6 usw. Was mit den anderen Würfen passiert ist da egal, es dürfen nur nicht mehr als 4 Treffer in Folge dabei sein. Gefragt ist allerdings nach "höchstens" 4 mal hntereinander. Das heißt, um die Frage korrekt zu beantwprten muss man auch noch berechenen, wie groß die W.-keit ist, dass er 3 Treffer in Folge macht (1 bis 3 oder 2 bis 4 oder 8 bis 10) oder 2 in Foolge oder auch nur 1 Treffer in Folge (was bedeuten würde: Treffer, verfehlt, Treffer, verfehlt...). Man sieht schon, dass da ne Menge Kampfrechnen auf einen zukommt.

Würde er allerdings 1000 mal werfen, dann wäre es schon unmöglich per Hand auszurechenen, dass er genau 4 Treffer in Folge macht. Die Zahl der Würfe zu kennen ist also enorm wichtig, und es ist auch vom Ergebnis her nicht egal, wieviele Würfe er macht

Lothar Tochtrop, den Fehler kann ich erklären. Übrigens habe ich bereits am 30.04. in Bildungsklick darauf hingewiesen, dass diese Aufgabe falsch gestellt ist. Es ist ofenbar, dass in der Aufgabenstellung über die Anzahl der Würfe nichts gesagt ist. Bei Ihrer Lösung gehen Sie davon aus, dass Nowicki genau fünfmal wirft. Aber er könnte ja z.B. sechsmal werfen. Dann kann das Ereignis 5 Treffer auf zwei Weisen eintreten Treffer kürze ich mit +, Fehlwurf mit - ab. die zwei Weisen :

+ + + + + - und - + + + + +. Das Ereignis "höchstens fünf vier Treffer" ist aber auch noch eingetreten, wenn die Serie + + + + + + geworfen wird. Man kann jetzt die Wahrscheinlichkeiten für jede dieser Wurfketten addieren und erhält nicht Ihre ca 60 %. Für jede Anzahl kommt etwas anderes heraus und die Aufgabe wird beliebig kompliziert.

Ihr Fehler ist der häufigste Fehler, der beim Stellen von Wahrscheinlichkeitsaufgaben gemacht wird : Sie haben nicht genau den Zufallsversuch beschrieben, dessen Wahrscheinlichkeit Sie berechnen wollten. In diesem Fall müßten Sie etwa so formulieren : "Nowitzki beginnt mit dem Werfen. Wenn er fehl wirft muss er sofort aufhören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei höchstens auf 4 Treffer kommt? Das aber steht nicht im Text. Diese Ergänzung der Aufgabenstellung ist allerdings im Kontext der Aufgabe nicht naheliegend. In allen anderen Aufgabenteilen steht die Wurfzahl, von der ausgegangen wird, fest, ganz zu schweigen davon, dass die Aufgabe im Kontext völlig unsinnig ist, denn im Basketbat darf man eh nur höchsten 3 Freiwürfe hintereinander machen. Dann trifft man mit Sicherheit höchstens viermal.

An der Argumentation ist nichts falsch, dennoch geht sie an der Aufgabenstellung vorbei. Dort ist nämlich nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, daß höchstens vier Mal nacheinander getroffen wird.

Die Betonung liegt dabei auf höchstens.

Für 5 Würfe ist die genannte Rechnung richtig. Für 6 Würfe muß man schon anders rechnen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür bei 6 Würfen 5 Treffer in Folge zu erzielen ist:

W1 = ( 0,904 hoch 5 ) * 0.096 * 2 = 0,1159158

Die Wahrscheinlichkeit dafür bei 6 Würfen 6 Treffer in Folge zu erzielen ist:

W2 = ( o,904 hoch 6 ) = 0,545771

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

W = 1 - W1 - W2 = 0,3383132

also deutlich kleiner als bei 5 Würfen.

Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich von der Zahl der Würfe abhängig.

Man überlegt sich schnell, daß bei unendlich vielen Würfen die nachgefragte Wahrscheinlichkeit sogar Null sein muß.

Die Aufgabe ist in der gestellten Form tatsächlich unvollständig.

es liegt an dem Wort " höchstens" vier Treffer hintereinander. Bei vier Würfen ist die Wahrscheinlichkeit 100 % höchstens vier Treffer hintereinander zu haben. Bei 10 Würfen ist das nicht der Fall, da es ja auch möglich ist 6 Treffer in Folge zu erzielen.

Wenn jede Serie aus 5 Würfen des Dirk Nowitzki

mit 39,7 prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens einen Fehlwurf enthält , spielt die Gesamtanzahl der Würfe keine Rolle. Jede noch so große Anzahl von Würfen kann man ja als

Kette solcher 5er-Serien betrachtet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Novitzki in der Saison 2006/2007 mit Freiwürfen keine 5-mal hintereinander erfolgreich war, beträgt - bei einer Trefferquote von 90,4 %- null. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Freiwurf der Saison 2006/2007 nicht den Beginn einer Serie von mindestens 5 erfolgreichen Freiwürfen darstellte, beträgt 39,6 %.

Die Aufgabenstellung (3) liefert keine Anhaltspunkte dafür, welchem Rechenmodell zu folgen ist.

Herr Dr.W.Manzke,

die gefragte Wahrscheinlichkeit ist unabhängig

von der Anzahl der Würfe und beträgt ca. 39,6

Prozent. Wer mit 39,6 Prozent Wahrscheinlichkeit bei 5 Würfen mindestens einen Fehlwurf hat, kann mit 39,6 Prozent Wahrscheinlichkeit keine Trefferfolge größer 4 erzielen, egal wie oft er wirft.

Herr Lothar Tochtrop,

ich möchte noch einmal zusammenfassen:

Bei 5 Würfen errechnen wir eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens 4 Treffern in Folge von W = 0,3963

Bei 6 Würfen errechnen wir eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens 4 Treffern in Folge von W = 0,3383

Die Ergebnisse sind offensichtlich wurfzahlabhängig.

Herr Dr.W.Manzke,

wichtig für meine Lösung ist nur die Erkenntnis, dass innerhalb von 5 Würfen

bei Trefferquote 90,4 Prozent mit 39,63 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Fehlwurf ist.

Dass dann auch in einer sehr großen Wurffolge

mit dieser Wahrscheinlichkeit von 39,63 % keine 5 Treffer hintereinander auftreten können, sollte unmittelbar einleuchten.

Spekulation:

Der Autor der Stochastikaufgabe hatte mit (3) im Sinn, nach der Wahrscheinlichkeit des

Komplementärereignisses A* zu A : „Novitzki wirft eine Serie von 5 Treffern“ zu fragen,

so wie man nach der W. des Komplementärereignisses zu einem 6er Würfelpasch fragen könnte.

A* durch „Novitzki legt keine Serie von 5 Treffern hin“ auszudrücken, wäre schon kritisch. Mit A* im Sinne von „Novitzki wirft höchstens 4 Treffer in Serie“ ist dann endgültig die Anzahl der in Betracht gezogenen Würfe herausgekickt. Der Autor hat sich bei dem Versuch, die Aufgabe stärker zu verklausulieren, selbst ein Bein gestellt.

Fazit:

Der Fall gibt einen Hinweis auf eine unauffällige Quelle von Missverständnissen:

Eine veränderte Formulierung bleibt im eigenen Vorverständnis äquivalent, wird aber von dem, der dieses Vorverständnis nicht teilt, (so) nicht verstanden.

Bleibt also, folgende Erkenntnisse festzuhalten:

1. Die Aufgabe ist lösbar

2. Die Lösung ist unabhängig von der Wurfzahl

3. Die Aufgabe ist nicht besonders schwer

4. Es gibt viele, die keine Chance auslassen,

einem Missverständnis zu unterliegen.

Es ist schon merkwürdig, dass ein einziger Schreiber - Lothar Tochtrup - bei seiner Meinung bleibt, trotz aller klugen und richtigen Einwände. Damit spiegelt er genau das Verhalten der Kultusbürokratie wider : "Augen zu und durch, trotz aller berechtigten Widerstände". Seine letzte "Zusammenfassung" fasst zusammen, was außer ihm niemand sonst gesagt hat. Es ist ganz klar, dass die Aufgabenstellung eine wesentliche Information nicht enthält. A. Finkenauer hat ganz recht : hier hatte jemand eine bestimmte Lösung im Kopf, nur hat er die Aufgabe nicht so gestellt, dass das dem Prüfling klar wird. Soll man neuerdings raten, was der Aufgabensteller fragen wollte ? Mathematisch noch einmal ganz klar : wenn es darum geht, Wahrscheinlichkeiten für eine Serie von Wiederholungen eines Elementarexperiments (hier Treffer bei einem Freiwurf) geht, dann ist eine dies betreffende Aufgabe nur lösbar, wenn angegeben ist, wie oft das Elementarexperiment wiederholt wird. Am Beispiel : 10 Freiwürfe. Dabei kann die Anzahl der Wiederholungen eine konkrete Zahl sein (z.B. 10 Freiwürfe), eine allgemeine Zahl (n Freiwürfe) oder auch eine durch eine Regel bestimmte Zahl (z.B. so viele Versuche, bis zum ersten Mal Fehlwurf). Ohne eine solche Angabe ist die Aufgabe genauso sinnlos wie die "Kapitänsaufgabe" - ein Schiff ist 50 m lang und 10 m breit. Wie als ist der Kapitän ?") Fazit : die Aufgabenstellung ist wesentlich unvollständig, wie es der Gutachter Prof. Koepke ausgeführt hat.

Falsch, ich muss Lothar da uneingeschraenkt zustimmen.

Mathematik hat nun mal leider etwas mit logischem Denken zu tun, obwohl dies vielen Schülern wirklich schwer fällt.

Diese Aufgabe c bringt implizit, alle Angaben mit, die zur Lösung derselbigen notwendig sind.

Von einem Abituriend darf man doch ein bisschen logisches Denken und gesunder Menschenverstand erwarten dürfen, oder?

Mal im ganz im Ernst. Wäre dieses Abitur nicht so schlecht ausgefallen hätte es über diese Aufgabe doch gar keine Diskussion gegeben und jetzt wird im Nachinein mit formaljuritischen Mitteln und IRGENDEINEM Prof (der mir bis dato unbekannt war) versucht ein Versagen der Schüler/Lehrer/Eltern... zu vertuschen.

Wenn ich dies meinen ehem. Matheprofs erzählen würde... die würden sterben vor Lachen...

Mancher Leute Ignoranz ist nicht zu überbieten:

bei 1 bis 4 Würfen ist die W. = 1,

Bei 5 Würfen errechnen wir eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens 4 Treffern in Folge von W = 0,3963

Bei 6 Würfen errechnen wir eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens 4 Treffern in Folge von W = 0,3383

und LT behauptet immernoch:

2. Die Lösung ist unabhängig von der Wurfzahl

Man nehme sich doch als Zufallszahlengenerator

das Telefonbuch, die letzte Ziffer ist zufällig: 0 = Fehlwurf 1-9 = Treffer

LT behauptet die W. nicht mehr als 4 von 0

verschiedene Endziffern hintereinander zu bekommen, ist 41%, unabhängig davon, ob ich

eine Spalte, eine Seite oder das ganze Buch

untersuche.

Den Ausfuehrungen der Beitragsschreiber Manzke, Thal und Finkenauer ist eigentlich nichts hinzuzufuegen, aber der Behauptung bzgl. Mathe-Profs muss ich trotzdem widersprechen. Ich bin Statistik-Prof und finde die Aufgabe unvollstaendig gestellt. Das ist uebrigens besonders schade, weil ich die fragliche Aufgabe in voller Laenge (leicht im Netz zu finden) sehr schoen finde: Es wird das bekannte Thema "hot hand phenomenon" aufgegriffen, d.h. die Tendenz, Zufallsmuster ueberzuinterpretieren.

Wenn man am Schreibtisch ein paar Minuten ueber der Frage bruetet, wird die Intention schon klar. Vermutlich (ich kenne die Musterloesung nicht) wollte der Autor genau die von Herrn Thal vorgeschlagene Frage stellen: "Nowitzki beginnt mit dem Werfen. Wenn er fehl wirft muss er sofort aufhören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei höchstens auf 4 Treffer kommt?" Die Antwort ist das Komplementaerereignis zu +++++ (wie schon von Herrn Finkenauer gesagt) und damit die von Herrn Tochtrop vorgeschlagene. Aber die Behauptung, dass die Antwort dieselbe sei, wenn wir die Zahl der Wuerfe mit 5, 6, 7... festschreiben, ist natuerlich falsch. Im Fragenkontext haette man ja durchaus auch an 10 Wuerfe denken koennen, dann setzt die korrekte Loesung eine ganz schoene kombinatorische Geduldsuebung voraus!

Herr Finkenauer hat genau erklaert, was hier passiert ist: Der Fragensteller wollte die Frage umgangssprachlicher fassen, ihm/ihr ist augrund seines/ihres Vorverstaendnisses nicht aufgefallen, dass eine wichtige Information herausfiel. Als Selber-Statistikklausursteller kann ich bestatetigen, dass sowas schnell mal vorkommt. Darum lese ich (oder ein Doktorand) die Klausur ja Korrektur. Mir ist Aehnliches sogar schon in eine tatsaechlich gestellte Klausur mit 20 Prueflingen gerutscht, ich habe die Frage dann halt nachher nicht bewertet. Im Zentralabi ist es aber ein GAU und zeigt, dass an den Kontrollmechanismen gearbeitet werden muss.

Hallo Leute - mal den Ball flach halten - es haben fast alle irgenwie recht, sogar Lothar Tochtrop, allerdings nur in einer Weise, die ihm vermutlich auch wieder nicht schmecken wird.

Folgender Vorschlag zur Güte: Es handelt sich in erster Linie nicht um ein Mathematikproblem, sondern um ein Sprachproblem. Vielleicht hat ja noch jemand einen Germanisten oder Sprachjongleur in der Hinterhand, den er mal eben bemühen könnte...

Der Satz 'Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Dirk N. höchstens vier Mal nacheinander bei Freiwürfen erfolgreich ist' übersetzt sich völlig mühelos und äquivalent mit 'Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Dirk N. niemals fünf Mal nacheinander bei Freiwürfen erfolgreich ist'.

Eine Wurfversuchsobergrenze existiert in der Aufgabe nicht, da waren sich ja alle einig. Und prompt ist die Lösung ein Kinderspiel:

1.Fall: Dirk N. hat eine Trefferquote von 0%. Dann ist diese Wahrscheinlichkeit = 1.

2.Fall: Dirk N. hat eine Trefferquote > 0%. Dann ist diese Wahrscheinlichkeit = 0.

Da ja 90,4% (>0%) angegeben waren, haben wir es also mit Fall 2 zu tun. Fertig.

- Dr. W. Manzke, am 31.05.2008 18:13 hatte auf diesen Sachverhalt bereits hingewiesen (und somit recht)

- Diese Aufgabe ist natürlich selten dämlich und war vom Autor in dieser Form bestimmt nicht gemeint. Andreas Finkenauer, am 03.06.2008 16:40 weist darauf hin (und hat somit recht).

- 'Von einem Abituriend (sic!) darf man doch ein bisschen logisches Denken und gesunder Menschenverstand erwarten dürfen, oder?' Hier hat Simone Hepcke, am 07.06.2008 12:21 natürlich recht.

- 'Bleibt also, folgende Erkenntnisse festzuhalten: 1. Die Aufgabe ist lösbar, 3. Die Aufgabe ist nicht besonders schwer & 4. Es gibt viele, die keine Chance auslassen, einem Missverständnis zu unterliegen.' Hier hat nun endlich auch Lothar Tochtrop, am 03.06.2008 21:16 recht. (sorry, den fehlerhaften Punkt 2. musste ich rausnehmen).

Vielleicht habe aber auch ich recht, wenn ich behaupte: In einer extremen Prüfungssituation mit einer sinnlosen (weil im Grunde trivialen) Aufgabe konfrontiert zu werden, wirft die meisten Schüler aus der Bahn, zumal ihnen jahrelang erklärt wurde, wie unglaublich sinnvoll die Dinge sind, die man im Mathematikunterricht so treibt. Jedenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für das plötzliche und erstmalige Auftreten einer solch dämlichen Aufgabe (geschätzt) extrem niedrig.

Alles Weitere wäre vielleicht ein Fall für den Grund-/Leistungskurs Deutsch.

Ich bin zwar kein Abiturient aber denke schon mich in Sachen Mathematik etwas auszukennen. Ist nicht die Vorgabe der 90,4 % Trefferquote der Rechenfaktor, er ausdrückt das es sich um keine festgelegte Wurfmenge handelt? Wenn ich diese Wurfquote in meiner Rechnung, egal wie viele Würfe ich annehme, mit berücksichtige, kann ich immer nur auf ein bestimmtes Ergebnis kommen.

Hallo Matthias,

nein das stimmt so nicht ganz:

Eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis alleine anzugeben ermöglicht es nicht, die Wahrscheinlichkeit für viele dieser aufeinander folgenden Ereignisse anzugeben.

Ein simples Beispiel:

In einer dunklen Kiste liegen 2 rote und 2 blaue Kugeln. Wir ziehen ohne zurückzulegen.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Rote zu ziehen beträgt also 50% (=1/2).

Wenn ich nun aber 2 rote Kugeln nacheinander ziehen möchte, rechne ich:

2/4 * 1/3 = 1/2 * 1/3 = 1/6

Dies entspricht ca 17 %

Wer die Antwort "Mit 39,63 Prozent Wahrscheinlichkeit ist jeder Wurf nicht der Beginn einer Trefferserie größer 4 " für

richtig hält, sollte die Betonung auf "jeder" legen , um zu verstehen , dass diese Lösung

unabhängig von der Wurfzahl ist.

Jedenfalls darf man nicht eine 'Anzahl Versuche' annehmen/einführen und damit dann

die ohne Versuchsanzahl formulierte Aufgabe

für lösbar erklären.

"Mit 100 Prozent Wahrscheinlichkeit ist jeder FehlWurf nicht der Beginn einer Trefferserie größer 4 "

Es ist hier wohl allen klar, dass Matheaufgaben eindeutig gestellt werden müssen, so dass unterschiedliche Interpretationen nicht möglich sind. Dazu müssen bestimmte Grundregeln bekannt sein und eingehalten werden, mit denen Aufgaben gestellt werden. Vor allem darf nicht erlaubt sein, selbst eingeführte Vorgaben zu benutzen (Beispiel: Sind in der Einleitung einer (Teil-)Aufgabe Vorgaben gemacht, dann beziehen sich diese auf die gesamte (Teil-)Aufgabe inklusive der Unteraufgaben. Innerhalb einer Unteraufgabe gemachte Vorgaben gelten nicht für andere Unteraufgaben. Werden diese Regeln beachtet, darf man im Aufgabenteil (3) weder 5 noch 10 noch irgend eine andere Anzahl von Würfen festlegen, auch nicht unendlich viele.)

Sonst könnte dies schnell ausarten, wie in folgendem Beispiel: Einem Kind wird die Aufgabe vorgelegt: Du bekommst von Deiner Mutter 10 Euro und sollst davon auf dem Markt Erdbeeren kaufen. Eine Schale Erdbeeren kostet 2,50 Euro. Wie viele Schalen kannst Du kaufen? Antwort des Kindes: Keine, denn bestimmt wird mir ein Taschendieb das Geld aus der Einkaufstasche stehlen.

Beachtet man diese Regeln, so muss man die Aufgabe so verstehen: Dirk wird in eine Schule eingeladen, um dort seine Wurfkünste zu demonstrieren. Er fängt an zu werfen. Wenn er auch nur einen seiner ersten Würfen daneben wirft, wird die Schadenfreude der Zuschauer nicht zu überhören sein. Trifft er seine ersten fünf Würfe, so wird man ihm für die weiteren Würfe auch den einen oder anderen Fehlwurf gestatten, so die Interpretation der Aufgabenstellung, ohne Änderung oder Ergänzung der mathematischen Vorgaben.

Dirk sollte also vor Annahme der Einladung genau ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er sich blamiert. Und diese Wahrscheinlichkeit beträgt, wie schon mehrfach genannt, rund 39,6%. Sie ist übrigens bei jeder Einladung gleich, egal wer ihn einlädt und wie oft er eingeladen wird, denn wir dürfen ja auch die Gesamtvorgabe dieses Aufgabenteils, nämlich Dirks Trefferwahrscheinlichkeit, nicht ändern.

Wichtig für den Mathematikunterricht ist also auch die Vermittlung und Einhaltung der formalen Regeln, mit denen eine Aufgabe gestellt wird. Und so erkläre ich mir auch die Aufregung im Schulministerium: Man kann nicht ausschließen, dass einige Schüler an formalen Hürden gescheitert sind, weil ihnen diese Regeln von ihren Lehrern nicht bekannt gemacht wurden.

Dass diese Situation trotz der Kontrollen nicht vorhergesehen wurde, liegt vielleicht daran, dass keiner der Kontrolleure, die nicht gleich den beabsichtigten Lösungsansatz erkannten (sofern es welche davon gab), zugeben wollte, diese Aufgabe nicht lösen zu können und sich dann wahrscheinlich die Lösungsvorgaben haben zeigen lassen. Im Nachhinein war ihnen dann ''klar'', wie die Aufgabe gemeint war, und führten ihren ersten Lösungsansatz ihrem vermeindlichen Unvermögen zu. Dies ist übrigens ein typischer Effekt, der bei zu frühem Nachschauen in die so genannte ''Musterlösung'' auftreten kann. Mit etwas mehr Selbstvertrauen der Kontrolleure (ensprechende Fachkompetenz vorausgesetzt) hätte die hier geführte Diskussion bereits im Schulministerium vor der Freigabe der Prüfungsaufgaben stattgefunden.

.. In der Saison 2006/2007 erzielte er bei Freiwürfen eine Trefferquote von 90,4 %.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens vier Mal nacheinander bei Freiwürfen erfolgreich ist. ...

Die Aufgabe ist noch wesentlich unvollständiger und unsinniger als bisher durch die kontroversen Kommentaren belegt.

Hierzu ein paar "sinnvolle" und provokante Überlegungen

Es ist Unsinn, von einer Trefferquote in der Saison 2006/2007 auf eine Trefferwahrscheinlichkeit bei beliebigen Freiwürfen irgendwann schließen zu wollen, es sei denn, diese Saison 2006/2007 ist tatsächlich gemeint.

Aber dann ergibt sich durch die Angabe von 90.4 % ein Hinweis auf die Anzahl der tatsächlich erfolgten Würfe (es sei denn die 90,4 % wurden gerundet, was man hätte angeben müssen!) Die Anzahl der Würfe muss also ein ganzzahliges Vielfaches von 125 sein. Die Anzahl der Treffer

das gleiche Vielfache von 113!

113 Freiwürfe in einer Saison? Hier hat offensichtlich jemand überhaupt keine Ahnung von Basketball und die Trefferquote frei erfunden.

Fazit die Rahmenbedingungen der Aufgabe sind Schwachsinn oder es werden unsinnige Transferleistungen wie aus Trefferquote wird Trefferwahrscheinlichkeit zu einem beliebigen anderen Zeitpunkt, bzw. die Trefferquote ist gerundet, erwartet.

b) Aber nehmen wir einfach mal an, dass hier 113 Freiwürfe gemeint sind. Dann kann man natürlich nach der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 0 , 1 ,2 ,3 oder 4 Trefferketten fragen, bzw. deren Summenwahrscheinlichkeit. Nur diese Frage ist von Abiturienten natürlich nicht innerhalb einer Abiturklausur zu beantworten.

c) Das es sinnvolle andere Fragestellungen gibt, die auch beantwortet werden können, belegen die bisherigen Kommentare. Aber Sie beweisen auch, dass man in jedem Falle irgendwelche anderen Annahmen hinzunehmen muss, auch wenn dieses einigen Kommentatoren offensichtlich nicht klar

ist.

d) Der Kommentar des Schulministeriums, man benötigt nicht die Anzahl der Würfe, lässt allerdings darauf schliessen, dass der Autor der Aufgabe eine Lösung im Sinne des Herrn Tochtrop vor Augen hatte. Nur ...

der Aufgabentext lässt leider viele weitere Interpretationen zu.

Ich fürchte, ich habe eine ganz andere Herangehensweise an diese Aufgabe. Sollte die im forum zitierte Fragestellung "berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß er höchstens viermal erfolgreich ist" korrekt sein, würde ich die Aufgabe wie folgt lösen:

In einer beliebigen Reihe von Würfen warten wir auf den ersten Treffer - dieses Ereignis trifft mit 90.4% Wahrseinlichkeit ein. Die Wahrscheinlichkeit, daß er dann GENAU einmal trifft ist 0.904 (Wahrscheinlichkeit für einen Treffer) mal 0.096 (Wahrscheinlichkeit für einen daran sich anschließenden Fehlwurf). Für GENAU zwei Treffer in Folge wäre die Wahrscheinlichkeit demzufolge 0.904 * 0.904 (zwei Treffer in Folge) mal 0.096 (anschließender Mißerfolg). Für drei dann dementsprechend 0.904 hoch 3 mal 0.096 und für vier 0.904 hoch 4 mal 0.096. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten sollte dann die Antwort auf die Frage liefern, wenn ich mich nicht vertippt habe, sind das 32.58%.

Entweder habe ich einen dusseligen Denkfehler begangen oder die Aufgabe ist doch eher einfach. In jedem Falle sehe ich überhaupt nicht, wieso das Resultat von der Wurfzahl abhängen sollte, wenn man die Aufgabenstellung so liest, das sie sich über die ganze Saison hinweg (also auf eine als hinreichend groß anzusehende Zahl von Versuchen) bezieht, was ja durch die Angabe der 90.4% so vorausgesetzt verden kann. "Höchstens vier Treffer in Folge" ist unbestimmt gefragt, also muß die Antwort auch unbestimmt hinsichtlich der Zahl der Versuche sein - folglich kann man (so mein Ansatz) mit einem beliebigen Treffer beginnen.

Ich versuche mal die bisherige Diskussion zusammenzufassen.

Folgende Punkte sind in der Aufgabenstellung nicht geklärt worden

und führen deshalb zu unterschiedlichen Interpretationen der Aufgabenstellung und damit auch (neben einigen Fehlschlüssen ... ) zu unterschiedlichen Ergebnissen.

a) Es wird ein "Trefferquote" für das Jahr 2006/2007 angegeben.

Unklar ist, ob daraus eine "Trefferwahrscheinlichkeit" ermittelt werden soll,

die für den zu untersuchenden Fall gilt oder eben nicht.

b) Bezieht sich der zu diskutierende Fall auf die Trefferserien des Jahres 2006/2007

oder soll Herr Novitzky neu werfen?

(Ist also die Wahrscheinlichkeit eines Treffer abhängig von den

vohergehenden Ergebnissen oder nicht)

c) Nimmt man die minimale Anzahl Würfe (..5), die in den vorhergehenden Unteraufgaben

angegebenen 10, die aus der Trefferquote ermittelten 125 mal n oder eine beliebig lange Wurfserie oder .. ?

(Auch diejenigen, die behaupten, Sie benötigen keine Anzahl Würfe, stecken

implizit Wurfserienlängen in die Aufgabe)

d) Wie sind höchstens 4 aufeinanderfolgende Treffer zu beobachten?

1) absolut über die gesamte Wurfserie?

2) als Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Trefferserien

3) durch plötzliches Einschalten einer Beobachtung der dann folgenden Würfe

während einer Wurfserie

4) durch plötzliches Einschalten einer Beobachtung und Feststellung der aktuellen Wurfserienlänge (wurde bisher nicht diskutiert, ist aber beachtenswert)

Einige dieser Ansätze sind trivial zu beantworten, andere erfordern den Einsatz eines

Computers. Aber alle liefern unterschiedliche Ergebnisse!!!

Keine der oben genannten Fragen wird zweifelsfrei durch die Aufgabenstellung beantwortet, sonder verlangt Interpretation.

Alle diese Fragen beweisen aber definitiv, dass die Aufgabe wesentlich präziser hätte gestellt werden müssen.

Die Aufgabe ist mehrdeutig.

Es gibt mehrere Deutungen, für die die Aufgabe jeweils unvollständig ist.

Es gibt eine Deutung, für die die Aufgabe vollständig ist.

Meine Meinung nochmal kurz (war wohl ein bisschen viel Text gestern):

Die Trefferquote von 90,4% wird ohne Zögern als Trefferwahrscheinlichkeit für die Teile (1) und (2) benutzt, warum dann nicht auch für Teil (3)?

Der durchaus sinnvolle und fächerübergreifende Aufgabenteil, der danach fragt, ob die Trefferquote realistisch sei, fehlt und braucht daher auch nicht bearbeitet zu werden. Es steht jeder Schülerin / jedem Schüler natürlich frei, dahingehend Kommentare auf den Klausurbogen zu schreiben. Kommentare zum Lösungsweg sind sogar erforderlich. Aber aus Zeitgründen sollten diese auf das Nötigste reduziert werden.

Nach den Regeln des Verständnisses einer Aufgabe DARF im Teil (3) keine bestimmte Anzahl an Würfen benutzt werden. Und der Lösungsansatz, der ohne bestimmte Anzahlen an Würfen auskommt, ist der, der Dirk ab einem Zeitpunkt t=0 (Beobachtungsbeginn) werfen lässt, bis er daneben wirft.

Ich hoffe nur, dass diese Lösung, hier zuerst von Herrn Tochtrop genannt, auch mit den offiziellen Lösungsvorgaben verträglich ist. Falls nicht, dann würde ich die hektische Reaktion des Schulministeriums sehr gut nachvollziehen können.

Hallo,

Ich hätte eine Frage zu dieser Rechnung von Dr.W Manzke:

Für 5 Würfe ist die genannte Rechnung richtig. Für 6 Würfe muß man schon anders rechnen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür bei 6 Würfen 5 Treffer in Folge zu erzielen ist:

W1 = ( 0,904 hoch 5 ) * 0.096 * 2 = 0,1159158

Die Wahrscheinlichkeit dafür bei 6 Würfen 6 Treffer in Folge zu erzielen ist:

W2 = ( o,904 hoch 6 ) = 0,545771

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

W = 1 - W1 - W2 = 0,3383132

Warum multiplizieren sie bei W1 das 0,904^5*0,096 noch mit 2. Sonst ist die Rechnung für mich verständlich, aber ich habe keine Ahnung woher die 2 kommt!

Zur ersten Lösung von Herrn Trochtrup:

Wenn man die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf in einer beliebigen Fünferserie berechnet, erhält man 60.3% - allerdings ist dabei auch die Möglichkeit gegeben, daß z.B. der dritte Wurf genau dieser Fehlwurf ist. Um dann die exakte Wahrscheinlichkeit für höchstens vier Treffer in Serie zu erhalten muß man noch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, daß den Treffern bei Wurf vier und fünf noch mehr als zwei Treffer folgen und diese dann auch noch von 60.3% abziehen, so daß man weniger als die 39.7% erhält. Gleiches muß dann noch für die Ereignisketten für die anderen Fehlwürfe machen.

Zu meinem Lösungsvorschlag noch die Anmerkung, daß die Wahrscheinlichkeit für höchstens Z Treffer allgemein als (1-x) Summe über n bis Z x hoch n schreiben kann. Wenn man Z gegen unendlich gehen läßt, konvergiert das ganze für x (Trefferwahrscheinlichkeit) kleiner eins genau gegen eins, was ich sehr beruhigend finde.

Daß man von der Trefferquote auf eine allgemeine Wahrscheinlichkeit schließen kann, sollte implizite sein, ansonsten wären auch die andere Aufgangen nicht lösbar (was niemand behauptet hat, oder?) - und im Aufgabenteil b sind ja auch typische Wurfzahlen gegeben, d.h. n in der fraglichen Saison war 288 plus 263 - das sollte recht ausreichend sein. Man kann ja gerne als Zusatzaufgabe noch ausrechnen, wie gut dieser statistische Wert ist, aber wer über 550 mal würfelt bekommt recht gut die Wahrscheinlichkeit von 1/6 für jede Zahl, da kann man ausprobieren oder auch nachrechnen.

Ich habe nochmal drüber nachgedacht und bin zu folgendem Schluss gekommen vielleicht ist der sogar richtig:

Also die A stehen für nicht Treffer und die B für Treffer. Dabei sah es jetzt wie folgt aus:

ABBBBB aber es könnte ja auch BBBBBA sein und da es zwei Ereignisse sind muss das ganze nochmal 2 genommen werden. Bei 8 Würrfen und 5 Treffern lautet der Rechenausdruck dann:

0,904^5*0,096^3*(4 über 3), denn es sieht dann ja so aus:

AAABBBBB jetzt gibt es für die A's nur 4 Plätze da die B's zusammenhängen müssen also diese nur 1 Möglichkeit darstellen und es drei A's gibt also 4 über 3 Möglichkeiten!

Mit ein wenig kriminalistischem Scharfsinn gelangt man zur Erkenntnis, dass es genau 21 Freiwürfe mit 2 Fehlwürfen und 19 Treffern gegeben haben muss. Aus einer Trefferquote von 19/21 = 0,904761.. wird dann mit der Sprache eines Sportjournalisten eine Trefferquote von 90,4 %.

Herr Dr. Ney schreibt nun:

"Daß man von der Trefferquote auf eine allgemeine Wahrscheinlichkeit schließen kann, sollte implizite sein, ansonsten wären auch die andere Aufgangen nicht lösbar (was niemand behauptet hat, oder?)"

Die Stichprobe von 2 Fehltreffern auf 21 Würfen ist viel zu klein, um eine Aussage über "die" Trefferwahrscheinlichkeit von Dirk Novitzki treffen zu können. Man würde ja auch nicht bei einem! Würfelergebnis von 6213612561 also einer Trefferquote von 3/10 für eine 6 bzw. 0/10 für eine 4 davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln 30 % und die Wahrscheinlichkeit eine 4 zu würfeln 0 % ist.

Ich meine, dass die Aufgabe auch in diesem Punkte fehlerhaft gestellt ist. (Die Konsequenzen für die anderen Aufgabenteile interessieren mich hier nicht weiter.)

Im Aufgabentext hätte es z.B. heißen können:

..die Trefferwahrscheinlickeit ist 90,4 %..

oder

..die Trefferquote ist 19/21. Nehmen sie an, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den nachfolgenden Aufgabenteilen gleich der in der Saison 2006/2007 erzielten Trefferquote ist...

Herr Tochtrop ist der Meinung, dass seine (durchaus sinnvolle) Interpretation der Aufgabestellung ohne Annahmen aus kommt. Dem ist aber nicht so.

Die erste Annahme ist die über die Gleichheit von Trefferquote und Trefferwahrscheinlichkeit.

Die zweite Annahme ist die, dass Herr Novitzki neu wirft, und zwar mit der vorher angenommenen Wahrscheinlichkeit.

Die dritte Annahme ist, dass Herr Novitzki nicht mehr als 5 Würfe macht, bzw. dass er aufhört, wenn er den ersten Fehlwurf macht.

Obwohl dies Annahmen sehr plausibel erscheinen und vom Autor vermutlich so beabsichtigt sind. Lassen sich keine dieser Annahmen zweifelsfrei mit dem Aufgabentext belegen.

Zur kritisierten Aufgabe folgendes:

Im Lösungsvorschlag von Dr. Andreas Ney (11.6.2008,13:53) wird eine 5er-Serie immer mit einem Treffer begonnen, was meiner Ansicht nach eine unzulässige Voraussetzung ist. Herr Tochtrop braucht diese Voraussetzung für seinen Lösungsvorschlag nicht.

Außerdem liefert die von Dr. Andreas Ney genannte Formel zu Berechnung der Wahrscheinlichkeit von höchstens Z Treffern für Z=4 exakt die von Herrn Tochtrop genannte Wahrscheinlichkeit von rund 39,6%!!!

Ich halte also fest: Bisher gibt es nur eine Lösung dieser Aufgabe, die ohne zusätzliche Voraussetzungen auskommt.

Zum Thema ''Mehrdeutigkeit“ einer Aufgabe folgendes:

Herr Wenz, wenn ich die ganze Diskussion richtig vestehe, dann wurde ursprünglich doch nur der Aufgabenteil (3) als nicht eindeutig lösbar kritisiert. Also wird allgemein akzeptiert, dass als Trefferwahrscheinlichkeit die Trefferquote benutzt werden soll, wie es in den Aufgabenteilen (1) und (2) ja auch unstrittig ist.

Und jetzt an alle: Sind nicht sehr viele andere Aufgaben, von denen man es bisher gar nicht vermutet hat, im Sinne von Herrn Tochtrop mehrdeutig?

Mein extremes Beispiel (Volker H. am 10.6.2008, 2. Absatz) mit dem Kind, das auf dem Markt Erdbeeren kaufen soll, etwa auch? Für ein Kind, das in einem sozialen Brennpunkt wohnt, mag es völlig unrealistisch sein, von seiner Mutter mit Geld in der Tasche zum Markt geschickt zu werden. Ist diese Aufgabe dadurch unlösbar geworden?

Oder hätte man meine Erdbeeren-Aufgabe so formulieren müssen:

Ein Kind bekommt von seiner Mutter eine Geldbörse, die genau 10 Euro enthält. Das Kind wird nun zum Markt geschickt, um Erdbeeren zu kaufen, und zwar so viele, dass das Geld genau ausgegeben wird. Auf dem Weg zum Markt und auf dem Markt begegnen dem Kind weder ein Taschendieb, noch die Jugendbande, noch die Großeltern (die dem Kind womöglich noch Taschengeld zustecken) noch sonst irgendwelche Personen, die dem Kind Geld geben oder wegnehmen. Auch wollen wir davon ausgehen, dass das Kind kein Geld findet und auch keine EC-Karte hat, mit dem es sich von einem Bankautomaten Geld holen kann. Die Einkaufstasche habe auch kein Loch, so dass das Kind sein Geld auch nicht verliert. Wir setzen zusätzlich voraus, dass der Obstverkäufer das Kind nicht betrügt, unabhängig davon, ob das realistisch ist oder nicht. Eine Schale Erdbeeren kostet nun 2,50 Euro. Wie viele Schalen Erdbeeren bringt das Kind mit nach Hause, wenn es auf dem Heimweg weder verunglückt, noch Erdbeeren verschenkt, selber isst oder verliert? (''Nach Hause bringen'' bedeute hier die Übergabe derselben Einkaufstasche, in die der Obstverkäufer die von den 10 Euro gekauften Erdbeeren gefüllt hat und die nach wie vor die gleiche Anzahl an Obstschalen mit der gleichen Anzahl an Erdbeeren enthält, wie zu dem Zeitpunkt, als der Obsverkäufer die Tasche gefüllt hat, an die das Kind zu Hause erwartende Mutter).

War das nun vollständig genug, oder habe ich noch was vergessen?

Die Trefferquote von Herrn Nowitzki ist natürlich 498/551 = 0,9038. Aber sie sollte auch so (als Bruch) angegeben sein, damit Schüler auch erkennen können, das die Trefferwahrscheinlichkeit sich nicht wesentlich davon unterscheidet.

An Volker H.

Das ist ja genau das Problem einer Aufgabe im Zentralabitur. Hier werden Kriterien vorgegeben, wie eine Aufgabe zu lösen ist und daher darf eine Aufgabe keine Mehrdeutigkeiten, Unklarheiten oder Fehler enthalten. Bei selbstgestellten Aufgaben kann der Lehrende (wenn er fähig und willens ist) flexibel auf "Fehlinterpretationen" der Schüler reagieren. Im Zentralabitur ist dieses zum Nachteil der Schüler nicht möglich.

An Volker H.

Ich habe mich in meinem Berufsalltag mit vielen tausend Aufgaben herumschlagen müssen. Und daher muss ich Ihnen recht geben, dass sehr viele Aufgaben mehrdeutig sind und dass oft insbesondere die fähigeren Lernenden mit der Mehrdeutigkeit Probleme haben.

Das Trefferquote und Trefferwahrscheinlichkeit nicht identisch sind, ist eine allgemein akzeptierte Tatsache. (Das Würfelbeispiel ist sicher einleuchtend.) Nur ... wenn man nichts besseres hat, bzw. wenn eine ausreichend große Stichprobe vorliegt (498/551, aber nicht 90,4%) , dann ...

An Herrn Wenz:

Ich stimme Ihnen zu, daß Quote und Wahrscheinlichkeit nur für n gegen unendlich gleich sind. Ich habe allerdings große Zweifel, daß sich selbständig denkenden Schüler davon im Angesicht von n=551 wesentlich schrecken lassen. Später an der Uni, selbst beim wissenschaftlichen publizieren muß man gewisse Näherungen machen, die allerdings transparent sein sollten. Sich selbstkritisch damit auseinanderzusetzen, welche Näherungen im Rahmen der gegebenen Aufgabe sinnvoll und "richtig" sind, halte ich für ein wesentlcihes Lernziel, jedenfalls hilft es im Physikstudium anschließend sehr gut weiter (eigene Erfahrung). Eine Verweigerung der Bearbeitung ist in jedem Falle schlechter, als eine näherungsweise richtige Lösung, oder?

An Volker H.:

Ich zweifele ja auch, ob diese Näherung angebracht ist, daß ich mit einem Treffer bei der Betrachtung beginne, aber wenn ich eine allgemeine Frage bearbeite, kann ich in jedem Falle nicht ausschließlich Fünferserien betrachten, denn ansonsten würde ich ja annehmen, das bei mehr als fünf Würfen das Trefferbild immer gleich dem der Fünferserie ist (siehe mein vorheriger Einwand bezüglich der Lösung von Herrn Tochtrop).

Im Prinzip impliziert die Aufgabenstellung ja, daß Nowitzki unendlich lange wirft (der Arme!) und man kommt zu einem beliebigen Zeitpunkt in die Halle und schaut nach einer, zweier, dreier oder vierer Serien. obald er eine Fünferserie wirft, geht man wieder raus. Diese Beobachtung wird sehr oft wiederholt, so daß man eine "aussagekräftige" Statistik hat, wie oft er höchstens viermal in Folge trifft. Daß er auch sofort daneben werfen kann (und man wieder rausgeht), kommt dann mit 9.6% Wahrscheinlichkeit vor, daher der Ansatz, das die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer 0.904 mal 0.096 ist (und nicht 0.096, sprich ich nehme den Treffer (wahrscheinlichkeit eins) mal die Wahrscheinlichkeit, daß er anschließend nicht trifft). Damit müßte der Allgemeingültigkeit genüge getan sein, es sei denn, man lasse die Zeit rückwärts laufen. Ich weiß zwar nicht, ob Nowitzki vor dem ersten Wurf, den ich gesehen habe, getroffen hat, oder nicht, aber genau da habe ich das Problem, wie ich es ausrechnen soll, denn der Beobachter kann ja jederzeit dazukommen und die Serie ist unendlich lang. Insbesondere konvergiert dann die Reihe nicht mehr gegen eins, was ich unheimlich finde.

Zu den genauen Zahlen - ich bekomme gemäß "meiner Formel" nicht 39.6% heraus (ob das am Rechner von Windows XP liegt?) - und ich weiß partout nicht, wieso.

Nochmal an Helmut Wenz:

Freilich muss auch der Lehrende, der flexibel auf die Lösungen seiner Schüler reagieren kann, der Interpretationsfreiheit irgendwo Grenzen setzen (siehe Erdbeer-Beispiel). Und diese Grenzen sind meist subjektiv und können Diskussionen wie diese hier verursachen. Ganz klar ist, und da gebe ich Ihnen uneingeschränkt Recht: Wenn das mathematische Vokabular nicht korrekt eingesetzt wird, dann werden besonders diejenigen Schülerinnen und Schüler irritiert, die die mathematischen Begriffe kennen und unterscheiden können.

Abgesehen davon ist es möglich, in den offiziellen Auswertungsvorgaben einer zentralen Prüfung mehrere Lösungsansätze und unter Umständen sogar daraus resultierende unterschiedliche Lösungen zu berücksichtigen. Man muss sie nur voraussehen können, was bei zentralen Prüfungen für zigtausend Schülerinnen und Schüler nicht so leicht ist...

Zum Thema ''fehlende Angaben'' bleibe ich dabei: Es gibt formale Regeln, wie Angaben einer Aufgabe (und in diesem Falle besonders die Tatsache, dass eine Angabe, die man sich wünschen würde, nicht gemacht wird) einzuordnen sind. Diese sollten vom Aufgabensteller eingehalten werden und vor allem natürlich auch dem Prüfling bekannt sein, damit die Grenzen der Interpretationsfreiheit möglichst objektiv gesetzt werden können.

Korrektur (meinen letzten Kommentar bitte nicht einstellen):

Zunächst die syntaktisch und semantisch korrekte Aufgabenstellung, das heißt ohne überflüssige Informationen (das schlimmste sind die erwähnten 12 Punkte am Ende von Aufgabe 3) und ohne überladene Begriffe (Versuch und Freiwurf) - wie es bei mathematischen Aufgaben meiner Ansicht nach immer der Fall sein sollte, da

Mathematiker in der Regel nicht unbedingt Gedichte interpertieren wollen und/oder müssen:

Person "A" hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 90,4%.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person "A"

(1) genau 8 Treffer bei genau 10 Versuchen erzielt

(2) höchstens 8 Treffer bei genau 10 Versuchen erzielt

(3) höchstens 4 unmittelbar aufeinander folgende Treffer bei "n" Versuchen erzielt.

Meine spontane Beurteilung der eindeutigen Lösbarkeit:

Aufgabe (1) war bereits mit der originalen Aufgabenformulierung eindeutig lösbar.

Aufgabe (2) war bereits mit der originalen Aufgabenformulierung eindeutig lösbar.

Aufgabe (3) ist ohne Angabe von "n" nach wie vor nicht eindeutig lösbar und wird bei Angabe von "n" eindeutig lösbar.

An Herrn Wenz.

1. Selbstverständlich kann man hier keine andere Trefferquote zur Berechnung von Wahrscheinlichkeit heranziehen als 90,4 Prozent

2. Der Werfer wirft selbstverständlich nicht mit einer anderen Trefferquote.

(Das könnte in Wirklichkeit vorkommen, darf aber hier nicht angenommen werden)

3. Der Werfer hört nicht nach 5 Würfen auf.

Die Lösungsaussage gilt für jeden Wurf einer

beliebig langen Wurfserie.

(Es kommt auf die Anzahl der Würfe nicht an)

Ich habe großen Respekt vor der eigenständigen geistigen Leistung anderer und deshalb gebe ich Lernenden, die eine Lösung anbieten, die mit der Aufgabenstellung kompatibel und in sich logisch und formal korrekt ist, und die nicht versucht, dem gestellten Problem durch Spitzfindigkeiten aus dem Weg zu gehen die volle Punktzahl.

Gereon Tochtrop:

Korrekt.

Der Schüler hat nur die Möglichkeit die Trefferwahrscheinlichkeit mit der Trefferquote qleich zu setzen. Mein "Vorwurf" bezüglich der Begriffe und der Darstellung geht an das Schulministerium. Im Übrigen möchte ich mit meinen Kommentaren nur auf die prinzipiellen Probleme und Anforderungen an Aufgaben in einem

Zentralabitur aufmerksam machen.

Korrekt.

Die Vorgabe von n ist eine Möglichkeit, die Aufgabe eindeutig lösbar zu machen.

(

n5

hier wird es schnell knifflig, bzw. aufwendig

)

Volker H.

Dr. Andreas Ney

Ich kann Ihren Kommentaren nur zu stimmen.

Dr. Andreas Ney

Es ist nicht verwunderlich, dass Sie ein anderes Ergebnis bekommen als Herr Lothar Tochtrop, da Sie unterschiedliche Modelle durchrechnen.

Mein letzer Kommentar ist leider verstümmelt worden.

( kleiner gleich größer Symbole machen offensichtlich Probleme )

hier der beabsichtigte Text:

Die Vorgabe von n ist eine Möglichkeit, die Aufgabe eindeutig lösbar zu machen.

(

n kleiner gleich 4 100%

(kompatibel mit der Aufgabenstellung, logisch korrekt, aber der Schüler geht der Statistik aus dem Weg)

n gleich 5 39,6% (kompatibel mit der Aufgabenstellung, logisch korrekt, vorausgesetzt der Schüler bringt keine Punkt abziehende Kommentare)

..

n größer 5

hier wird es schnell knifflig, bzw. aufwendig

)

An Helmut Wenz:

OK, wenn einem Schüler nichts besseres einfällt und er der Meinung ist, er müsste eine bestimmte Wurfanzahl im Aufgabenteil (3) annehmen, um die Aufgabe lösen zu können, soll ihm das bei stichhaltiger mathematischer Begründung erlaubt sein. Weil er dadurch jedoch die Regeln des Umgangs mit einer Aufgabe missachtet, sollte er dafür weniger Punkte bekommen als jemand, der ohne zusätzliche Angaben eine Lösung findet, aber auch mehr Punkte als derjenige, der diese Aufgabe nicht bearbeitet (Gemäß des Mottos von Dr. Andreas Ney: Lieber eine gute Näherung, als gar keine Lössung).

Übrigens: Mit ''seiner Formel'' bekommt Dr. Andreas Ney genau das gleiche Ergebnis, wie Lothar Tochtrop (siehe unten).

An Dr. Andreas Ney:

Das Ereignis ''Genau kein Treffer'' ist Teilmenge des Ereignisses ''Höchstens vier Treffer''. Daher muss man in ''ihrer Formel'' die Summe mit n=0 starten und erhält für Z=4 rund 39,6% (laut Ausgabe meines Taschenrechners). Und auch erst dann konvergiert die Summe gegen 1 für Z gegen unendlich (startet man die Summe mit n=1, so konvergiert sie gegen das x ihrer Formel, hier 0,904).

Da die Wurfanzahl nicht angegeben ist, soll wohl auch nicht benutzt werden, wie oft Dirk vor und nach dem Beobachtungsintervall eines Zuschauers wirft, der dann enden kann aber nicht muss, wenn Dirk daneben wirft, womit keine bestimmte Wurfanzahl benutzt wird und die Lösung auch nicht von einer variablen Wurfanzahl n abhängt. Dirk braucht auch nur so lange zu werfen, bis im Beobachtungsintervall des letzten Besuchers der erste Fehlwurf aufgetreten ist. Bei dieser Interpretation der Aufgabe wird jedes Beobachtungsintervall nach dem Merkmal ''Anzahl der Treffer ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf'' in genau eines der beiden disjunkten Ereignisse ''höchstens vier Treffer'' und ''mehr als vier Treffer'' einsortiert. Somit ist es weder wichtig, was vor einem jeweiligen Beobachtungsbeginn passiert ist, noch was nach dem ersten Fehlwurf eines Beobachtungsintervalls passieren wird, denn hat es einen Fehlwurf gegeben, dann ist klar, zu welchem Ereignis das Beobachtungsintervall gehört, egal, was innerhalb dieses Beobachtungsintervalls noch passiert. Der Zuschauer darf also nach dem ersten Fehlwurf seines Intervalls weiter zuschauen. Man muss lediglich voraussetzen, dass in jedem Beobachtungsintervall so oft geworfen wird, bis ein Fehlwurf auftritt, oder mindestens 5 Treffer hintereinander ab Beobachtungsbeginn gelandet wurden. Damit wird jedoch weder eine bestimmte noch eine variable Wurfanzahl angenommen, von der die Lösung abhängt.

Und nun verabschiede ich mich erstmal ins Wochenende.

An Volker H (sofernnoch nicht im Wochenende):

Ja, wenn ich "meine" Formel bei n gleich null beginnen lasse, bekomme ich auch 39,irgendwas% heraus. Jetzt haben Sie meinen Hasen im Pfeffer gefunden - die Reihe konvergiert nämlich nur gegen eins, wenn manbei n=1 anfängt! x hoch null ist leider schon eins und damit würde die Reihe gegen zwei konvergieren, man müßte also durch zwei teilen, damit der Ansatz einen Sinn macht, dann käme aber etwas knapp unter 20% raus. Ich verstehe die Aufgabenstellung daher so, daß das "höchstens vier Treffer nacheinander" so zu verstehen ist, daß das Auftreten eines "isolierten" Fehlwurfs (also Treffer, Fehler, Treffer) nicht mit gemeint ist, also nicht berücksichtigt werden muß. Daher beginne ich willkürlich mit einem Treffer, bzw. mit n gleich eins und nicht null.

Bleibt mir immer noch die Frage, ob ich bei dem ersten willkürlichen Treffer "in die Vergangenheit schauen muß" oder nicht, also ob die Summe Wahrscheinlichkeit mit eins minus x oder mit (eins minus x) hoch zwei mal der Summe über n gleich eins bis Z von x hoch n berechnet werden muß.

Gegen das Quadrat spricht, daß die Reihe dann für Z gegen unendlich gegen (eins minus x) konvergiert, also gegen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf und eben nicht gegen eins.

Ich würde also mit "meiner" Formel bei den ominösen 32,6% bleiben, die sonst niemand herausbekommt.

Im übrigen habe ich Schwierigkeiten mit Ihrer Aussage hinsichtlich der Konvergenz.

Soweit ich weiß konvergiert die Summe über n gleich eins bis unendlich von x hoch n (für x kleiner eins) gegen eins durch (eins minus x). Da dies folglich eine Gleichung ist, mit der man rechnen kann, kann ich mit (eins minus x) durchmultiplizieren und bekomme, daß (eins minus x) mal die Summe gleich eins ist (und eben nicht x, wie Sie meinen). Genau diese Gleichung nehme ich und gehe statt bis unendlich nur bis vier.

Soweit bin ich mir recht sicher, ob aber diese Gleichung auf die Aufgabe (am besten) paßt, ist mir schon weniger klar - mir fällt für eine beliebig lange Serie nichts besseres ein - natürlich muß man zu kurze Wurfserien ausschließen.

Dennoch würde es mich sehr interessieren, was denn der offizielle Lösungsvorschlag war...

An Volker H.

Ihren letzten Ausführungen kann ich nun gar nicht folgen.

Ich nehme das Beispiel von Herr Dr. Ney

Herr Nowitzki wirft beliebig oft.

(n gleich unendlich ist hier die Annahme, die nicht im Aufgabentext steht!)

Irgendwann beobachte ich die Wurfaktivität und sehe die Reihenfolge 2110 und wende mich wieder ab.

(Die 2 steht für den ersten Treffer (und Wurf), den ich beobachte)

Klar, diese Reihe wird in die Klasse höchstens 4 Treffer hintereinander einsortiert.

Andere Zuschauer haben mehr Geduld und sehen

21101111

Klar, diese Reihe wird immer noch in die Klasse höchstens 4 Treffer einsortiert.

Wieder andere Zuschauer waren auch schon vor mir anwesend und haben noch mehr Geduld.

Dies Zuschauer sehen

121101111111

Klar, diese Reihe wird in die Klasse mindestens 5 Treffer hintereinander einsortiert.

Ein weiterer Zuschauer sieht den Ausschnitt

10112

und sortiert ihn selbsverständlich in die Klasse höchstens 4 Treffer hintereinander ein.

Objektiv:

...101121101111111......

Die mit der 2 markierte Trefferserie hat eine Länge von 5 Treffern hintereinander.

Offensichtlich hängt die Klasseneinteilung und damit die zu berechnende Wahrscheinlichkeit vom Beobachtungsmodus ab (bzw. der Anzahl n der Würfe) und dieser Beobachtungsmodus ist durch die Aufgabenstellung nicht hinreichend festgelegt.

Es wird nur von höchstens 4 Treffern hintereinander gesprochen, aber nicht davon, wie 4 Treffer hintereinander zu ermitteln sind oder (und) wann diese innerhalb einer Wurfreihe auftreten.

Jeder Beobachtungsmodus, also auch der mit nur 5 Würfen ist daher im Hinblick auf die Aufgabenstellung qleichwertig (vollwertig) zu behandeln.

Ein tatsächlich ersprießliche Diskussion!

Bevor es allzu unübersichtlich wird, will ich festhalten, was ich (unter anderem) daraus gewonnen habe:

1) in mathematischer Hinsicht:

Klaus Thal (31.05.2008 17:23) präzisiert das Zufallsexperiment

für eine beliebige Anzahl von Würfen in der Weise, dass sich daraus

eine abzählbahr unendliche Ergebnismenge modellieren lässt, nämlich

{-,+-,++-,+++-,++++-, ...} mit den Wahrscheinlichkeiten 1-p , p(1-p), pp(1-p),

ppp(1-p),pppp(1-p),... der entsprechenden Elementarereignisse. Auf die Idee dieser

Ergebnismenge hat mich Dr. Andreas Ney (11.06.2008 13:53 ) gebracht, der allerdings an den

Originalwortlaut von "Novitzki (3)" anknüpft und infolgedessen (!) den Fehler macht, das erste

Element der oben beschriebenen Ergebnismenge außer Acht zu lassen. Herr Dr. Ney macht tatsächlich

einen Fehler und entwirft kein "unterschiedliches Modell" (Helmut Wenz, am 13.06.2008 10:00 ),

denn die Summe der W. der Elementarereignisse ist bei ihm nicht 1.

Es gilt nämlich (und muss gelten): 1-p + p(1-p)+ pp(1-p)+ ppp(1-p)+ pppp(1-p)+...=1.

2) ein unverhofftes Argument gegen die These von der "Unabhängigkeit von der Anzahl der Würfe":

Der Denkfehler von Dr. Ney ist äußerst ertragreich, lässt er sich doch aus der Unvollständigkeit

der Aufgabenstellung erklären, womit die Hypothese der Unvollständigkeit auch psychologisch gestützt ist.

Zur Unterstützung der These von der "Unabhängigkeit von der Anzahl der Würfe" und damit von der Vollständigkeit

der Aufgabenstellung sollte Herr Lothar Tochtrop sagen, welche abzählbar unendliche Ergebnismenge mit welchen

W. der zugehörigen Elementarereignisse sich aus "Novitzki (3)" modellieren lässt.

Die (implizit) von Klaus Thal aufgebotene darf es nicht sein, denn die beruht auf seiner Präzisierung der Aufgabenstellung,

eine endliche Ergebnismenge darf es auch nicht sein, denn darin ginge unweigerlich die Anzahl der Würfe ein.

3) Man sollte bei Aufgabenstellungen im unterrichlichen Diskurs die Kirche im Dorf lassen. Da will ich gerne zustimmen:

Ich bin zwar weiterhin der Auffassung, dass "Novitzki (3)" eine schlecht gestellte Abituraufgabe war,

allerdings meine ich auch, dass eine Aufgabenstellung wie: "Wie groß ist die W. , eine Serie von 5 Sechsen

zu würfeln" o. k. ist, obwohl man auch hier der Meinung sein kann, dass die Anzahl der vorgesehenen Würfe

nicht mitgeteilt wird. Diese sollte aber dann unbedingt angegeben werden, wenn man zum Komplementärereignis übergeht.

Hallo,

alle vorangegangenen Ausführungen finde ich höchst interessant, beleuchten sie doch einen so einfachen Sachverhalt von so vielen verschiedenen Blickwinkeln. Dies zu tun kann in meinem Verständnis jedoch nicht von einem Abiturprüfling verlangt werden. Aufgaben sollten eindeutig und klar gestellt werden.

ALLERDINGS sollte man von einem Abiturienten erwarten dürfen, dass er sich - aus prüfungstaktischen Gründen - nicht aus der Ruhe bringen läßt, wenn er 4 Bewertungseinheiten (3 Teilaufgaben ergeben 12 BE) nicht erreichen kann. Hat er nach 10 Minuten immer noch keine Lösung gefunden, sollte er ohne weitere Umstände zur nächsten Aufgabe weiter gehen. Bleibt am Schluss noch Zeit übrig, kann diese nicht gelöste Aufgabe immer noch bearbeitet werden. Dieses Verhalten kann man bereits von Grundschülern erwarten bzw. sollte ein vor der Reifeprüfung stehender Abiturient in 12 oder 13 Jahren Schulzeit erlernt haben.

Das Argument, die man sei durch die "unlösbare" Aufgabe so verunsichert oder geradezu "schockiert" gewesen, dass die gesamte Prüfung nicht mehr bearbeitet werden konnte finde ich daher recht lächerlich. Eine Wiederholung der kompletten Abiturprüfung ist daher meiner Meinung nach völlig überzogen.

Nachtrag zu meinem letzten Kommentar:

Triebe man die von Klaus Thal vorgenommene Präzisierung von "Novitzki (3)" noch weiter und legte eine Höchstzahl

von Würfen willkürlich fest, z.B. 7, dann ergäbe sich als Ergebnismenge "E7" {-,+-,++-,+++-,++++-, +++++-,++++++}

mit den Wahrscheinlichkeiten 1-p , p(1-p), pp(1-p),ppp(1-p),pppp(1-p),ppppp(1-p),pppppp.

Es würde gelten: Die W. von A ,dass Novitzki höchstens 4-mal in Seie trifft und die W. A*, dass Novitzki mindestens 5-mal

in Serie trifft, ist unabhängig von der Höchstzahl (n >4)der Würfe. Man könnte also bei der ursprünglichen Präzisierung

von "Novitzki (3)" tatsächlich auch mit der endlichen Ergebnismenge En (mit n>4) arbeiten.

Nur all das gibt die ursprüngliche Aufgabenstellung von "Novitzki (3)" nicht her.

An Andreas Finkenauer

Ich kann Ihnen fast in allen Punkten folgen.

Trotzdem gebe ich das folgende zu bedenken.

Die Aufgabenstellung legt nicht fest, wie vier Treffer in Folge zu beobachten sind und wieviele Würfe tatsächlich gemacht werden sollen.

Daher ist das Beobachtungsmodell von Dr. Ney

(11.6. 13.53)

.. wir warten auf den ersten Treffer..

und beobachten die Folgen

(+-,++-,+++-,++++-,+++++) durchaus mit der Aufgabenstellung kompatibel bzw. ein erlaubtes Beobachtungsmodell.

(Die Schlussfolgerungen andererseits und ob Herr Ney dieses Modell tatsächlich zum damaligen Zeitpunkt gemeint hat, will ich hier nicht beurteilen. Auf jedenfall können Modelle, die nur einen Teilaspekt beobachten, eine Renormierung der Summenwahrscheinlichkeit erzwingen.)

Allerdings ist dieses Beobachtungsmodell ein anderes als E5

(-,+-,++-,+++-,++++-,+++++).

Und nur weil einige bisher erläuterten Beobachtungsmodelle (En, n>4)(ich kenne noch einige andere) die gleichen Ergebnisse liefern, heißt das für mich nicht, dass diese Modelle identisch sind und die einzig richtigen.

An T. M.

Ich bin völlig Ihrer Meinung.

Unserer Diskussion hier beweist nur, dass das Schulministerium zumindestens in dieser Teilaufgabe, nicht mit der für ein Zentralabitur nötigen Sorgfalt gearbeitet hat.

An Andreas Finkenauer:

Ich glaube, Sie schlagen das selbe Modell vor, wie ich es getan habe - allerdings schrieben sie es andersherum, Ihr p (Trefferquote) ist mein x und die Reihe, die Sie angeben ist dieselbe, die ich meinte angegeben zu haben. In jedem Falle kovergiert auch meine Reihe gegen eins; Ihr Summand ppp(1-p) ist mein Summand (eins minus x) x hoch n (für n = 3) - die Reihen sind also identisch.

Das Problem liegt wiederum darin, daß Sie vorschlagen mit n=0 zu beginnen, also das Ereignis "genau ein Fehlwurf" mit in Betracht ziehen. (In Ihrer Sprache: {-, ...}).

Ich sehe also nicht, wo Sie bei mir einen Denkfehler gefunden haben, da Sie bis auf n=0 dasselbe vorschlagen, wie ich.

Bin wieder da, deswegen etwas mehr Text.

An Dr. Andreas Ney:

Ich habe in all meinen Bemerkungen zu ''Ihrer Formel'' (einschließlich den Konvergenzbetrachtungen) natürlich den vor der Summe stehenden Faktor (1-x) mit einbezogen und mich dahingehend vielleicht nicht deutlich genug ausgedrückt. Also: Mit dem Faktor vor der Summe ergibt sich für Z=4 und Start bei n=0 die Wahrscheinlichkeit von 39,6%. Der gesamte Ausdruck inklusive Faktor (1-x) konvergiert für Z gegen unendlich im Falle des Startes bei n=0 gegen 1, im Falle des Startes bei n=1 gegen x (Trefferwahrscheinlichkeit). Es gilt für x<1, und da liegt wohl auch Ihr Rechenfehler: Summe n=1 bis unendlich x hoch (n-1) gleich 1 durch (1-x). Dies lässt sich z.B. durch vollständige Induktion mit anschließender Grenzwertbetrachtung oder Nachschauen in einer Formelsammlung bestätigen.

An Herrn Wenz:

Beliebig oft heißt nicht unendlich oft, sondern dass die Anzahl bei der Lösungsfindung keine Rolle spielt. Damit ein Beobachtungsintervall, wie von mir (13.6.08, 14:06) vorgeschlagen, in eines der beiden Ereignisse einsortiert werden kann, muss es natürlich entweder einen Fehlwurf oder mindestes fünf Würfe enthalten. Erst dann wird die Aufgabe ohne triviale Interpretation (siehe Taschendieb) sinnvoll.

Wenn ich Sie richtig verstehe, dann ist das Beobachtungsintervall 121101111111 nicht das, welches ich sehe (denn ich sehe ja den mit der 2 markierten Treffer als ersten Wurf). Daher ist dieses ein anderes Intervall und muss aus der Sicht des anderen Zuschauers in die Menge ''Höchstens vier Treffer ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf'' gelegt werden. Die nachfolgenden 7 Treffer in Folge dürfen nicht mehr berücksichtigt werden, da das Ergebnis sonst wurfanzahlabhängig wäre. Und ein Beobachtungsintervall mit unbestimmtem Anfang (''...101121101111111...'') gibt es nicht, mit unbestimmtem (weil unwichtigem) Ende jedoch schon.

Außerdem handelt es sich hier auch um eine theoretische Frage nach der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis. Es braucht also ''in Wirklichkeit'' gar kein Beobachtungsintervall zu existieren! Man soll nur ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein (zukünftiges) Beobachtungsintervall, das auf jeden Fall mit einem Treffer oder Fehlwurf anfangen wird, zum Ereignis ''höchstens vier Treffer ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf'' gehören wird.

An Andreas Finkenauer:

Genau das meinte ich, als ich schrieb, dass es egal ist, wie oft noch geworfen wird, sobald klar ist, zu welchem der beiden Ereignisse ''Höchstens vier Treffer hintereinander ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf'' und '''Mehr als vier Treffer hintereinander ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf'' ein Beobachtungsintervall gehört. Also könnte die Wurfanzahl auch 7 sein, ist aber nicht wichtig. Zunächst eine Wurfanzahl anzunehmen und darüber zu einer Lösung zu gelangen, die dann aber nicht mehr von der angenommenen Wurfanzahl abhängt, ist eine durchaus legitime Heuristik.

An T.M.

Ich kann die Aufregung im Schulministerium aus mathematisch-pädagogischer Sicht auch nicht nachvollziehen. Sie scheint eher juristischer Natur zu sein: Es ist taktisch geschickt, eine Wiederholungsprüfung anzubieten, statt tausende Einsprüche bearbeiten zu müssen. Womit wir bei einem anderen, sehr leidigen Thema wären, das freilich nicht Thema dieses Forums ist: Gibt es ein Recht auf guten Noten?

Nachdem nun hoffentlich alle Rechenfehler ausgemerzt sind, kristallisiert sich heraus, dass es in diesem Forum zum Aufgabenteil (3) mehrere, sich im mathematischen Kern kaum unterscheidende Lösungswege zu der bisher einzigen wurfanzahlUNabhängigen Lösung 39,6% gibt, richtig?

Ein mea culpa ist angebracht (und mein vorheriger Kommentar ist damit Kokolores) - ich habe mir die Konvergenzen nochmal genauer angeschaut - die geometrische Reihe konvergiert in der Tat für n=0 gegen eins - also ist zumindest in dieser Reihe das Ereignis "genau ein isolierter Fehlwurf" mit enthalten (jetzt verstehe ich den Kommentar meies Namensvetters auch besser) - wäre in der Tat auch sehr komisch, wenn in der Summe aller denkbaren Ereignisse dieses Ereignis nicht vorkommt.

Dennoch bleibt diese Summe der richtige Ansatz, und die Frage bleibt, ob dieses Ereignis im Sinne der Aufgabenstellung mit in Betracht kommt, oder nicht. Nimmt man es mit, sollte man sich auf den Standpunkt stellen, daß man als hinzukommender Beobachter auf "Nummer sicher" geht und erstmal den ersten Fehlwurf abwartet, damit man weiß, daß es nicht eine lange Folge von Treffern ist, in die man da "hineinplatzt" - und ab dann gilt vorher gesagtes, also die Summenreiche. Da der arme Wicht sowieso unendlich lange wirft, kann man ruhig die paar Ereignisse bis zum nächsten Fehler außer acht lassen.

So gefällt mir der Ansatz endlich gut. Nur was ist dann die Antowort auf die Frage in %? 39.63%, wenn ich nicht irre. Und dann klappt auch wieder der Ansatz mit der Wahrscheinlichkeit für fünf Treffer in Folge (60,37%) und dann die "Gegenwahrscheinlichkeit" (100%-60,37%) - und die ganze Diskussion war für die Katz.

Ich habe allerdings immer noch Bauchschmerzen, wenn ich eine beliebige Folge von Nullen und Einsen habe und dann eine isolierte Null als günstiges Ereignis für "höchstens vier Einsen in Folge" nehmen soll...

Ich würde immer noch darüber sinnieren, die 9.6% abziehen und dann 30.03% bekommen.

An Volker H.

Ihr Modell lautet:

Wahrscheinlichkeit für höchstens vier Treffer ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf.

(d.h. man kann nach 5 Würfen aufhören)

Welcher Stelle des Aufgabentextes entnehmen Sie, dass die Schüler dort aufhören sollen. Der Zuschauer, der die Reihe 121101111111 sieht, sieht nach dem ersten Fehlwurf 7 Treffer in Folge!

Wie Sie richtig erkannt haben, ist diese Bewertung dann offensichtlich Wurfzahl abhängig. Dieses entspricht, meine ich, auch der Ansicht von Professor Koepke.

Im Gegenteil, meine Interpretation der Aufgabe, ist genau diese. Nur das ich Ihre Lösung mit der vollen Punktzahl versehen würde, obwohl ich nicht Ihre Ansicht teile, dass Ihr Modell "die richtige" Antwort ist.

Zu erwarten, dass die Schüler erst feststellen, dass diese Wurfzahlabhängigkeit besteht, dass die Schüler dann folgern sollen, dass die Aufgabe deswegen so nicht gemeint sein kann, um Sie dann nach einer vermeintlich Wurfzahl unabhängigen Lösung suchen zu lassen.

????????

Wie ich schon sagte,

deshalb gebe ich Lernenden, die eine Lösung anbieten, die mit der Aufgabenstellung kompatibel, in sich logisch und formal korrekt ist, und die nicht versucht, dem gestellten Problem durch Spitzfindigkeiten aus dem Weg zu gehen, die volle Punktzahl.

(falls mir keine Bewertungsvorschriften gemacht werden)

An Volker H.

So würde ich es nicht formulieren: Das Zufallsexperiment ist unvollständig beschrieben, denn keiner kommt bei dem

Versuch, es mathematisch zu modellieren (Ergebnismenge mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse)

ohne Zusatzannahmen aus. Zusatzannahmen (Typ A), die lediglich die Zahl der Würfe unterschiedlich festlegen, führen zu unterschiedlichen

Resultaten. Teilnehmer des Forums - den Anfang machte Klaus Thal- haben andere Zusatzannahmen (Typ B ) formuliert, die letztlich ohne

Festlegung auf eine feste Zahl von Würfen auskommen. Diese haben bisher (!) zu übereinstimmenden Resultaten geführt. Es ist grundsätzlich

nicht auszuschließen, dass weitere Zusatzannahmen vom Typ B gefunden werden, die zu einem anderen Resultat führen.

Zu sagen, das Zufallsexperiment sei doch vollständig beschrieben, weil es bei den bisherigen Zusatzannahmen vom Typ B

zu übereinstimmenden Ergebnissen gekommen ist, wäre logisch nicht korrekt. Denn wenn der Begriff vom "vollständig beschriebenen Zufallsexperiment"

schon überstrapaziert werden soll, dann müsste nachgewiesen werden- und der betreffende Schüler wäre dazu aufgefordert-, dass alle Zusatzannahmen

vom Typ B auf dasselbe Resultat hinauslaufen.

Die Fragezeichen von Helmut Wenz würde ich also noch mit mehreren Ausrufezeichen versehen.

An Dr. Andreas Ney:

Ihr letzter Kommentar (16.6.2008, 14:13) erinnert mich irgendwie an einen Roulette-Spieler, der nach zehnmal ''Rot'' in Folge meint, die Wahrscheinlichkeit, im elften Spiel ein ''Schwarz'' zu bekommen, sei nun höher als sonst, weil ''elfmal 'Rot' in Folge'' sehr viel unwahrscheinlicher ist, als ''Schwarz im elften Wurf''.

Bei gleich bleibender Trefferwahrscheinlichkeit ist es egal, ob vor dem eigenen Beobachtungsintervall bereits viele oder wenige Treffer gelandet wurden. Und in (3) ist ja nach der theoretischen, wurfanzahlUNabhängigen Wahrscheinlichkeit gefragt, mit der höchstens vier Treffer hintereinander gelandet werden. Damit die Lösung wurfanzahlunabhängig ist, entscheidet der erste Fehlwurf oder mindestens fünf aufeinander folgende Treffer AB BEOBACHTUNGSBEGINN über die Ereigniszugehörigkeit. Würfe nach der Entscheidung zur Ereigniszugehörigkeit können die gefällte Entscheidung nicht mehr ändern und spielen daher keine Rolle mehr.

Daher muss der arme Wicht sicher nicht unendlich oft werfen. Er braucht sogar keinen einzigen Wurf zu machen, sondern kann sich diese Wahrscheinlichkeit schon vor seinem ersten Wurf ausrechnen (siehe mein Kommentar vom 10.6.2008, 19:27, 3. und 4. Absatz).

An Herrn Wenz:

Es ist richtig, dass der Zuschauer, der 121101111111 beobachtet, 7 Treffer in Folge sieht. Diese sieht er jedoch erst nachdem seine Entscheidung (nämlich ''höchstens vier Treffer hintereinander ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Fehlwurf“) bereits unwiderruflich gefallen ist. Er kann aber weiter zuschauen, so lange er will. Daher muss man nicht bei fünf Würfen aufhören.

Ich ziehe eine von der Wurfanzahl unabhängige Lösung vor, weil ich mich an die formalen Regeln des Umgangs mit gemachten und nicht gemachten Angaben innerhalb einer Aufgabe halten möchte. Einem Schüler, der zusätzliche Angaben für seine Lösung braucht, ziehe ich, je nach Art der selbst hinzugefügten, interpretationsabhängigen Angaben, Punkte ab mit der Begründung, dass dessen Interpretation zwar in sich logisch und formal korrekt ist und die Ermittlung der Lösung daraus mathematisch richtig ist, aber grundlegende formale Regeln nicht eingehalten wurden.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass Schüler zu gestellten Aufgaben Lösungen finden, von denen sie selbst nicht überzeugt sind. Im besten Fall schreiben sie dann, dass sie aus diesem und jenem Grund meinen, ihre Lösung sei nicht ganz richtig. Im schlechtesten Fall streichen sie ihren Versuch durch, ohne eine Alternative anzugeben. Diesbezüglich stimme ich mit T.M. überein: Auch wenn man meint, nicht die richtige Lösung gefunden zu haben, sollte man aus Zeitgründen trotzdem zur nächsten Aufgabe übergehen, anstatt zur gleichen Aufgabe noch eine andere Lösung zu suchen. Der Aufwand für die eventuell geretteten Punkte lohnt sich so gut wie nie.

An Volker H.

Abgesehen davon, daß ich kein Roulette spiele, verstehe ich nicht, wieso meine Herangehensweise die Wahrscheinlichkeiten von Einzelereignissen abhängig von vorangegangenen Ereignissen machen soll - das gibt die Gleichung (Formel) nun wirklich nicht her. Es geht darum, wie mit einem isolieten Treffer umgegangen werden soll.

Also nochmal von vorne:

Gehen wir mal vom Basketball weg zu einer sehr ähnlichen Aufgabe, die sich mir in letzter Zeit beruflich gestellt hat (ich bin Experimentalphysiker): in einem ZnO-Gitter sind 10% der Zn Atome durch Co ersetzt (zugegeben, die Aufgabe ist schwieriger, da es 12 nächste Kationennachbarn im Wurtzitgitter gibt, aber im Prinzip ändert das nichts an der Aufgabenstellung). Wenn ich jetzt nach der Wahrscheinlichkeit frage, höchstens vier Co Atome zu finden, die auf benachbarten Zn Plätzen sitzen, zähle ich sicher die Wahrscheinlichkeit, ein Zn Atom zu finden (90%) nicht mit, oder? Jedenfalls entstellt das die Aufgabenstellung total.

Wieder zurück zu einem fiktiven Nowitzki:

Er hat -zigmal geworfen, dabei zu 90.4% getroffen, d.h. es liegt eine sehr lange Reihe von Nullen und Einsen vor (mit 90.4% Einsen und 9.6% Nullen statistisch verteilt). Wenn ich nun nach höchstens vier Treffern in Folge suche, dann suche ich eben nicht nach isolierten Nullen, sondern nur nach 1, 11, 111, und 1111, jeweils begrenzt durch Nullen.

Damit würde man die Summe bei n=1 beginnen und bei Z=4 enden lassen und auf 30,3% kommen. Es geht also nicht um den Beobachtungsbeginn an sich, sondern um die Wertung des isolierten Fehlwurfs in einer beliegig langen Folge von Versuchen in Bezug auf die Aufgabenstellung. Aus meiner Sicht ist dies die einzige Annahme, die gemacht werden muß, um die Aufgabe zu bearbeiten (und die, das Quote und Wahrscheinlichkeit identisch sind).

Es gibt demzufolge hierzu nur zwei Ansätze:

(i) Nowitzki ist ein armer Wicht und wirft unendlich oft, das Ergebnis wird aufgeschrieben und anschließend die Häufigkeit von 1, 11, 111 und 1111 ausgewertet

(ii) Nowitzki ist immer noch ein armer Wicht und wirft beliebig oft hinereinander je fünf Mal und man wertet aus, wie oft er fünfmal in Folge trifft und betrachtet das als Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von "höchstens vier Mal in Folge" und erhält 39.7%

Natürlich muß man den armen Wicht nicht oft werfen lassen, denn das hat er bereits in der Saison 2006/2007 gemäß Aufgabenstellung bereits mit (hinreichender?) Anzahl getan und wir "dürfen" losrechnen. Es kommt dann aber leider immer noch eine Wahrscheinlichkeit heraus, so daß man das konkrete Ereignis nicht vorhersagen kann. Dennoch muß man sich zwischen (i) und (ii) entscheiden.

Wurfzahlabhängige Lösungen läßt die Fragestellung in ihrer Allgemeinheit meiner Meinung nach nicht zu.

An Andreas Finkenauer:

Sie meinen wohl meinen Kommentar vom 16.6.2008, 13:52. Ich schließe auch nicht aus, dass zu (3) ein wurfanzahlunabhängiges (sinnvolles, korrektes, in sich logisches, ...) Modell existieren könnte, das eine von 39,6% verschiedene Wahrscheinlichkeit als Lösung hervorbringt, deswegen habe ich ebenfalls das Wort ''bisher'' verwendet. Allerdings würde ich dies nicht als Teil der Aufgabe in (3) hineininterpretieren und es auch nicht von einem Schüler verlangen. Hier würde ich jedem Schüler, der eine Lösung über ein (...) wurfanzahlunabhängiges Modell findet, volle Punktzahl geben.

Um allerdings in einer zentralen Prüfung so flexibel sein zu können, muss all dies in den Bewertungsvorgaben berücksichtigt sein.

An Dr. Andreas Ney:

Der Gedanke an den Roulette-Spieler kam mir, weil Sie Ihre Datenerhebung erst dann starten wollen, nachdem ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist.

Wenn Sie nach 1, 11, 111, 1111 suchen, die nach einer 0 kommen, dann müssen Sie aber sichergehen, dass nach der letzten 1 wieder eine 0 kommt, sonst könnte ja ein 111 auch ein 1111 sein. Dann haben Sie die 0 eben am Ende. Bei 00 wäre dann die erste 0 die (isolierte) Startnull und die zweite schon die Endnull. Dazwischen gab es keinen Treffer. Kann man das auch auf Ihr ZnO-Gitter übertragen, indem man die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, ein Zn-Atom zu finden, durch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, kein Co-Atom zu finden, ersetzt?

Wenn ich Sie richtig verstehe, muss in Ihren Modellen der arme Wicht tatsächlich unendlich oft werfen, damit die empirisch ermittelte relative Häufigkeit von der Wahrscheinlichkeit nicht mehr unterschieden werden kann. Dann nehmen Sie aber eine unendlich große Wurfanzahl an. Bei dem Modell, das ich bevorzuge, muss er nur so lange werfen, bis klar ist, ob er höchstens viermal oder mehr als viermal getroffen hat.

An Volker H.

Ich habe immer noch nicht verstanden, welche formalen Kriterien Sie benutzen, bzw. wo in der Aufgabenstellung steht, dass der Zuschauer nach dem ersten Fehlwurf aufhören soll, bzw. warum er mit dem ersten Fehlwurf seine Entscheidung treffen soll. Ich kann dieses nicht nachvollziehen. Der Aufgabentext gibt dieses einfach nicht her.

Zum anderen ist Ihre Wurfzahl unabhängige Lösung gerade nicht Wurfzahl unabhängig, da Ihre Klasseneinteilung äquivalent ist mit der "beobachten Sie 5 Würfe hintereinander Lösung" .

An Dr. Andreas Ney 17.6.08 14:57

Ich hatte ja schon gesagt, dass mir noch weitere Ansätze bekannt seien, die mit der Aufgabenstellung kompatibel sind. Ihr erster Ansatz ist einer davon. (Und nach Meinung eines Kollegen der einzig richtige, falls Sie noch die Nulltrefferfolge mit einbeziehen.) Allerdings bin ich auch hier nicht der Meinung, dass der Ansatz Wurfzahl unabhängig ist. Hier ist die Wurfzahl gerade unendlich. Ihr Ansatz ließe sich auch mit endlichem n lösen und wäre ebenso kompatibel mit der Aufgabenstellung.

Liebe Diskussionsteilnehmer,

es ist doch nun unstrittig, dass mit der Zusatzangabe "er beendet seine Wurfreihe sofort bei einem Fehlwurf" die Aufgabe eindeutig gestellt und lösbar wäre. Volker H. behauptet nun, es sei unzulässig Zusatzannahmen zu machen, wobei ich ihm zustimme, aber er selbst ( Volker H.) macht doch eben diese ("er beendet seine Wurfreihe sofort bei einem Fehlwurf")Zusatzannahme.

Stellen Sie sich doch einmal vor, sie möchten etwa ihren Sohn motivieren und versprechen ihm ein Eis,sollte er 4 mal in Folge in den Korb treffen-er würde sofort fragen wie oft er es versuchen dürfe, denn jedem ist doch klar, dass dann seine Wahrscheinlichkeit steigen würde. Oder anders gesagt, es ist sicher leichter irgenwann 4 mal in Folge zu treffen als zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Noch etwas zum Thema Kontrollmechanismus: Ich bin selbst in Bayern als Lehrer mit dem Matheabitur konfrontiert. Am Prüfungstag treffen sich hier 5-6 Lehrer (an jeder Schule in Bayern!)und rechnen vor Prüfungsbeginn alle Aufgaben durch, auch um auf etwaige Ungereimtheiten aufmerksam machen zu können. Ich glaube nicht, dass es diese Aufgabe hier bis in die Prüfung geschafft hätte bzw. dass per FAX eine Zusatzformulierung des Ministeriums ergangen wäre.

An Volker H

ich glaube, wir kommen langsam weiter. Natürlich muß man in der unendlich langen Reihe nach 010, 0110, 01110 und 011110 suchen, um "höchstens vier nacheinander" zu finden.

Wenn ich jetzt aber die Wahrscheinlichkeit für 010 ausrechne, also (1-x) mal x mal (1-x), für 0110 (1-x) mal x hoch 2 mal (1-x) und so fort, wäre die allgemeine Formel (1-x) hoch 2 Summe über n=1 bis 4 von x. Diese Reihe konvergiert dann gegen (1-x), also die Wahrscheinlichkeit (Häufigkeit) der Fehlwürfe, dazu später mehr.

Die Frage ist zunächst, wie man die Aufgabenstellung in ein Modell umsetzt. Es waren bereits zwei Ansätze diskutiert, einen für die unendliche Reihe und beliebiger Beginn ab einem Treffer (inklusive isoliertem Fehlwurf) und eine mit beliebig vielen Fünferserien nacheinander. Was nun verwundern kann, ist die Tatsache, daß man mit dem Ansatz der unendlichen Reihe dasselbe Ergebnis erhält, wie mit den vielen Fünferserien, wenn man bei der unendlichen Reihe n=0 mitnimmt (ob berechtigt oder nicht). Die Formeln sind auf den ersten Blick auch nicht identisch, aber die Wahrscheinlichkeiten sind gleich. Zufall?

Die Formeln wären zu (i)

(1-x) Summe von n=0 bis 4 von x hoch n

und zu (ii)

1 - x hoch 5

Für n gegen unendlich konvergieren beide gegen eins, was in beiden Fällen sinnvoll ist: die Wahrscheinlichkeit, daß er immer trifft ist gleich null, also die Gegenwahrscheinlichkeit (daß er nie immer trifft) ist eins. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, daß er höchstens immer trifft gleich eins, da die Wahrschinlichkeit, daß er niemals trifft, null ist.

Zwei Modelle, zwei Formeln, ein Resultat, nämlich 0.396270840446976

Also doch identisch.

Und wenn man ein bißchen rechnet ist

(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)=1-x^5

Die Formeln sind also auch identisch.

Also schließe ich zunächst, das die beiden Ansätze identisch sind.

Bleibt nun noch das Problem mit dem Starttreffer oder den Fünferserien zu beheben.

Mein erster Versuch, bis zu einem Treffer zu warten, ergibt dann lediglich 30.3%. Nehme ist die isolierte Null mit, komme ich auf den Fünferserienansatz zurück. Nimmt man nun die Häufigkeit in der unendlichen Serie und sucht nur nach ...010..., ...0110..., ...01110... und ...011110... Ereignissen, dann ist die Wahrscheinlichkeit lediglich 2,88%...!

Bei der Beobachtung von Trefferserien innerhalb einer unendlichen (Annahme!) Wurfserie darf man natürlich nur die erste oder die letzte 0 mitnehmen, da die zweite 0 zur nächsten oder vorhergehenden Trefferserie gehört, bzw. diese kennzeichnet.

Ob man die "isolierte Null" mitnehmen muss, kann ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen. Allerding tendiere ich eher dazu.

Das die beiden Ansätze unendliche Wurfserie und Auftreten von Trefferserien mit höchstens 4 Treffern in Folge bzw. Wahrscheinlichkeit des Auftretens von höchstens 4 Treffern in Folge bei der Beobachtung einer 5-Wurfserie zur gleichen Wahrscheinlichkeit führen, habe ich schon früher in diesem Forum geäußert.

(Und andere auch.)

Falls man aber die Beobachtungsregeln nur ein wenig ändert, indem man z.B. nach der Wahrscheinlichkeit fragt, auf eine Trefferserie zu stoßen, bei der es höchstens 4 Treffer in Folge gibt, oder indem man nach der Wahrscheinlichkeit fragt, solche Trefferserien innerhalb einer endlichen Wurfserie mit n ungleich 5 oder unendlich zu finden, so erhält man andere Ergebnisse.

Außerdem kann man die Aufgabe natürlich so verstehen, dass in einer Wurfserie überhaupt keine 5-Trefferserie auftreten darf.

Mein Ergebnis bezüglich dieser Aufgabe (und damit verabschiede ich mich aus diesem Forum) lautet also ebenfalls (Originalton Prof. Koepke)

"Die Aufgabe ist falsch gestellt und wesentlich unvollständig"

An Helmut Wenz (sofern doch noch nicht verabschiedet)

Ich stimme ihnen insofern zu, daß man die jeweilige "Anschlußnull" oder "Startnull" zu einer anderen Serie hinzurechnen kann, allerdings werden dabei mehrere Fehlwürfe in Folge nicht mit erfaßt, also ist dieser Ansatz für die unendliche Reihe unvollständig.

Man müßte dan noch die (kleineren) Wahrscheinlichkeiten hinzuzählen, die zu den Ereignissen 100, 1100, 11100, 111100 bzw. 1000, 11000, 111000, 1111000 etc. dazugehören.

Einen isolierten Fehlwurf hinzuzuzählen, man nur Sinn, wenn man von einem bestimmten Beobachtungsbeginn ausgeht und nicht von der Häufigkeit des Auftretens in einer Reihe.

An Dr. Ney:

Langsam wird's ein Stochastik-Seminar !

Ihre Ergebnismenge ist {+...,--...,-+-...,-++-...,-+++-...} mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse

p,(1-p)(1-p),(1-p)p(1-p) ,(1-p)pp(1-p),(1-p)ppp(1-p)...

(1-p)p(1-p) +(1-p)pp(1-p)+(1-p)ppp(1-p)... konvergiert gegen (1-p)p.

Das ergibt sich auch mit weniger Aufwand aus der Tatsache, dass das Ereignis "-+-... oder -++-... oder -+++-... oder ..."

identisch ist mit dem Ereignis "einem Fehlwurf folgt als nächstes ein Treffer" (Ereignis A).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass "das Eintreffen des Ereignisses A davon geprägt ist, dass dieser nachfolgende Treffer

nicht der Beginn einer Trefferserie von mindestens 5 Treffern ist, beträgt nach

Bayes ((1-p)p(1-p)+(1-p)pp(1-p)+(1-p)ppp(1-p)+(1-p)pppp(1-p))/((1-p)p) =1-p^4

Damit hätten Sie dann ein anderes Ergebnis als 39,6%. Klar, weil Sie einen anderen Beobachtungsmodus wählen!

Sie betrachten Trefferserien, die unmittelbar einem Fehlwurf folgen.

Damit dürfte, wie ich meine, die Diskussion so langsam ausgereizt sein:

Ob man die Zahl der Würfe festlegt oder in anderer Form am Zufallsexperiment herumstrickt oder die Beobachtungsmodi verschieden wählt

-es können sich immer wieder andere Ergebnisse für "Novitzki(3)" ergeben. Diese Aufgabenstellung ist nicht zu retten.

An Andreas Finkenauer

ich hatte es eigentlich als Statistik-Seminar verstanden... Allerdings mit sehr lebhafter und unmoderierter Diskussion...

Wie auch immer - man kann Nowitzki(3) natürlich auf verschiedene Arten verstehen. Ich möchte es aber auf die "sinnvollste" Art verstehen, also nehme ich vorzugsweise eine unendliche (oder hinreichend lange) Zahlenfolge von 1 und 0 mit einer Häufigkeit von 90.4% und 9.6% und nehme das als neue Aufgabe, die meiner Meinung nach der Aufgabenstellung in ihrer Unbestimmtheit am Nächsten kommt.

Wie Herr Prof JS (der anonyme Stochastiker) richtig angedautet hat, ist diese Aufgabe ein wenig aufwendiger zu betrachen, dennoch lohnt es sich aus meiner Sicht.

Wenn ich ihre Formeln richtig nachvollziehe, gehen Sie von einer anderen Ergebnismenge aus, als ich gerne annehmen würde. Warum Ihre betrachtete Ergebnismenge 1 und 00 mit einschließt, verstehe ich nicht.

Ich kann mir allerdings die Frage immer noch nicht beantworten, ob ich für die Formulierung "höchstens vier 1 in Folge" die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse 10, 110, 1110 und 11110 betrachten kann, also mit einem beliebigen ersten Treffer bei der Betrachtung beginnen kann, oder ob ich strikt nach den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse 010, 0110, 01110 und 011110 suchen muß, da ich zwingend den Beginn 01... brauche. Das bisherige Argument mit der Beliegibkeit des Betrachtungszeitpunkts überzeugt mich nicht, da ich ja zunächst einmal keine Zeitachse annehme, sondern eine Folge von 0 und 1 und nach Häufigkeiten bestimmter Zahlenkombinationen suche.

Mit der ursprünglichen Aufgabe hat das nicht mehr viel zu tun, aber ich hätte schon gerne eine Meinung/Antwort dazu.

An Helmut Wenz (leider schon gegangen, bevor ich antworten konnte):

Die 5er-Serien, die Sie in dem von mir bevorzugten Modell sehen, stellen keine Zusatzannahme hinsichtlich der Wurfanzahl dar, sondern resultieren direkt aus der Aufgabenstellung. Wäre nach der Wahrscheinlichkeit von ''höchstens 5 Treffern hintereinander'' gefragt worden, müsste man nach diesem Modell 6er-Serien betrachten.

Nach Bayern und an Helmut Wenz:

Zugegeben, ''bis zum ersten Fehlwurf'' steht nicht in der Aufgabe, aber in meiner ursprünglichen Erdbeer-Aufgabe (10.6.2008, 19:27) steht ja auch nicht, dass kein Taschendieb das Geld klaut. Wo sind da die Grenzen?

An alle (noch Verbliebenen oder neu Hinzukommenden):

Als Thema dieses Forums verstehe ich, nicht bestimmte Lösungsansätze bis ins Detail zu besprechen, sondern darüber zu diskutieren, ob und warum die Aufgabe falsch und unvollständig gestellt ist und dadurch eventuell unlösbar geworden ist. Dazu habe ich lange nichts Neues mehr in diesem Forum gelesen.

Wie ich bereits ein paarmal angedeutet habe, liegt das Problem der Aufgabe vielleicht nicht unbedingt in der Aufgabenstellung, sondern in den offiziellen Lösungs-und Bewertungsvorgaben, die nicht flexibel genug auf die unterschiedlichen Schülerinterpretationen reagieren konnten.

Ist das in Bayern anders? Warum hört man aus Bayern keinen solchen Protest gegen das Zentralabitur?

An Dr. Ney

Pardon, ich habe zu nachlässig notiert:

Es sollte heißen:

"Ihre Ergebnismenge ist {+...,--...,-+-...,-++-...,-+++-...,...} mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse

p,(1-p)(1-p),(1-p)p(1-p) ,(1-p)pp(1-p),(1-p)ppp(1-p),...

(1-p)p(1-p) +(1-p)pp(1-p)+(1-p)ppp(1-p)+... konvergiert gegen (1-p)p."

Wenn ich Sie richtig verstanden habe, betrachten Sie die Ergebnisse -+-...,-++-...,-+++-...,-++++-...,-++++-...,-+++++-,...

und fragen sich dann, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eines dieser Ereignisse -+-...,-++-...,-+++-... oder -++++-... ist.

Damit fragen Sie nach einer bedingten W., denn die W. von {-+-...,-++-...,-+++-...,-++++-...,-++++-...,-+++++-,... } ist nicht 1.

Nur zusammen mit den von Ihnen weggelassenen Ergebnissen +... und --... ist der Ergebnisraum auch in dem Sinne vollständig,

dass die Summe der W. der Elementarereignisse 1 ist.

In dem anderen Modell mit dem Ergebnisraum {-,+-,++-,+++-,...} gelangen Sie wieder zu einer bedingeten W., wenn Sie das erste Ergebnis

weglassen.

Wenn ich es richtig überblicke, hat keiner der Forumteilnehmer, der sich zum Wurfzahl unabhängigen Experiment geäußert

und dazu eine Rechnung mitgegeben hat, es für nötig befunden, das Experiment auch insoweit durchzumodellieren, dass er/sie einen

Ergebnisraum mit den W. der Elementarereignisse vorlegt.

An Volker H.

An Volker H.

Sie belegen die Aufgabenstellung "Novitzki(3)" mit einem Beobachtungsmodus (für die Nowizkische Wurfserie), der Ihnen erst erlaubt, "Novitzki(3)" zu rechnen.

Dr. Ney belegt "Novitzki(3)" mit anderen Beobachtungsmodi, die zu bedingten Wahrscheinlichkeiten führen.

Die Aufgabenstellung -wenn man sie schon mit Nowitzkischen Endloswürfen strapazieren will- liefert offenbar keinen sebstverständlichen oder immanenten Beobachtungsmodus.

Die Festlegung auf die Zahl der Würfe, die Präzisierung des Zufallsexperimentes im Sinne von Klaus Thal oder

die Wahl des Beobachtungsmodus stellen die grundlegenden Verzweigungen dar, um die Aufgabe überhaupt rechnen zu können.

Das sind keine luftigen Zusatzannahmen (s. "Taschendieb").

Fazit: Die Aufgabenstellung ist nicht zu retten. Sie wurde -wie ich gehört habe- ja auch nicht gerettet.

Die Feststellung: "Die Aufgabe ist nicht zu retten", sollte nicht das Fazit sein.

Muss sie überhaupt gerettet werden?

Die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Herr N. höchstens 4 mal hintereinander erfolgreich?" (wobei sicherlich jeder unterstellt, "erfolgreich sein" heißt "Treffer erzielen"), gehört in eine Klasse von Fragen, in der auch die Fragen "Mit Welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Herr N. einen Treffer" oder "Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Herr N. zwei Treffer hintereinander" zu finden sind. Warum sollte man z.B. bei letzterer Frage verlangen, dass eine gewisse Wurfanzahl vorgegeben wird, in der man nach 2er-Serien forschen kann?

Ich nehme an, alle Diskussionsteilnehmer würden z.B. bei der 2er-Serien-Frage gleichermaßen reagieren: Sie würden Herrn N. oft genug genau 2 mal werfen lassen und dann die Treffer/NichtTreffer-Muster der Einzelergebnisse bewerten. Mit dem Instrumentarium der ersten Teils der Aufgabe erübrigt sich die Durchführung des Versuches und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der 2er-Serie kann mit p^2 angegeben werden.

Von der 2er-Serie ist es nicht weit zur 5er-Serie (tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von p^5 auf). Somit ist die Wahrscheinlichkeit der "Nicht-5er-Serie" 1-p^5. Und "Nicht-5er-Serie" ist hier äquivalent zu "Höchstens-4er-Serie".

Es wäre doch schade, wenn heute abend beim Elfmeter-Schießen unser Bundestrainer einen unserer Lieblinge nicht nominieren kann nur weil die Frage "mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er einen Elfmeter" unsinnig ist.

@ Hubert S.

Die Frage gehört ja gerade nicht in eine Reihe mit zum Beispiel der Frage nach der W.-keit, dass N. einen Wurf verwandelt.

Die Frage nach 2 Treffern hintereinander ist hingegen schon wieder nicht präzise genung gestellt: darf er nur 2mal werfen ist ihre Antwort natürlich richtig, nämlich 0.9*0.9

darf er unendlich oft werfen wird er jede endliche Folge von Treffern erzielen können, die W.-keit, dass er eine Millionen mal hintereinander trifft ist 1 wenn er unendlich oft werfen darf.

Die Spezifikation der durchzuführenden Würfe ist bei dieser Frage unerlässlich und deren Fehlen macht die Aufgabe unverständlich und nicht eindeutig lösbar.

Nachtrag:

wurde irgendwo im Laufe der Diskussion bereits erwähnt, möchte es hier aber auch nochmal deutlich machen: zur Lösbarkeit einer Aufgabe in der W.-keitsrechnung gehört u.a., dass man den zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum (W.-Raum) kennt. Ohne W-Raum keine Sigma-Algebra (das ist das System der messbaren Mengen, welchen dann eine W.-keit zugeordnet werden soll) und kein W.-Maß. Auch wenn das für "Laien" bzw. Nicht-Mathematiker nach überflüssigem Formalismus klingt: ist absolut notwendig.

Beispiel: ein Mann geht in ein Lokal, da stehen 5 Tische mit jeweils 4 Stühlen und der Mann setzt sich zufällig irgendwo hin. Ein zweiter Mann kommt ins Lokal und setzt sich ebenfalls. Wie groß ist die W.-keit, dass beide am gleichen Tisch sitzten?

Antwort: nicht eindeutig!

1) Es gibt 20 Stühle, einer ist besetzt, bleiben noch 19, wovon 3 freie am Tisch des ersten Mannes stehen. Also 3/19.

2) Es gibt aber nach wie vor 5 Tische, und überall ist noch was frei. Dass der 2. Mann sich an den des ersten setzt ist also 1/5.

Die Mehrdeutigkeit ergibt sich daraus, dass nicht klar ist, auf welches Objekt sich die Zufälligkiet bezieht, in der Aufgabenstellung durch die Formulierung "irgendwo hin" produziert. Hätte es geheißen " der erste setzt sich zufällig an einen Tisch" oder "an einen Stuhl", wäre die Aufgabe lösbar. So aber nicht, zumindest nicht eindeutig, und darauf kommt es an.

An Philip Sieger (70)

Interessant finde ich die unterschiedliche Einordnung der Fragen nach der Wahrscheinlichkeit für "einen Treffer" und für "zwei Treffern hintereinander". Während bei ersterer die Sache klar zu sein scheint, wird bei der zweiten Frage zusätzlich eine Wurfzahl-Angabe gefordert. Warum dieser Unterschied?

Für mich gehören diese Fragen in die gleiche Klasse. Sie sind in unserer normal benutzten Sprache gestellt, sozusagen wie im täglichen Leben. Und hier ist es üblich und zulässig, dass Dinge auch "zwischen den Zeilen" stehen. Mit einem allgemein gültigen Sprachverständnis kann dann der dargestellte Sachverhalt eindeutig werden.

Bei der Frage nach der Wahrscheinlichkeit für "zwei Treffer hintereinander" steht nach meinem Sprachverständnis zwischen den Zeilen : "tritt an, wirf (genau) zwei mal und zeige mir das Trefferergebnis". Andernfalls hätte der Frager eine Wurfzahl vorgegeben, was er aber nicht getan hat.

Im Unterschied zum ersten Teil der Aufgabe muss in Teil (3) dieser Aufgabe der Proband aus der nach normaler Sprachgewohnheit formulierten Aufgabenstellung ein Modell selbst erstellen und in der Modellbeschreibung dann auch "Selbstverständlichkeiten" explizit hinschreiben.

Bleibt übrig : In welchem Sprachumfeld darf eine Mathematik-Aufgabe beim Zentralabitur gestellt werden?

@ Hubert S.

Ich entnehme Ihrer Aussage, dass Sie die aufgabe unter (3) also folgendermaßen verstanden hätten:

wie groß ist die W.-keit, dass Nowitzki höchstens 4 mal trifft, wenn er genau 4 mal werfen darf?

Da unter (1) und (2) aber jeweils eine Wurfanzahl gegeben war, und diese nicht 4 entsprach, wäre es mir als Schüler dann doch zu unsicher, einfach "zwischen den Zeilen zu lesen".

Mathematik ist eine exakte Wissenschaft, welche gerade von universeller und eindeutiiger Formulierung lebt. Eine Aufgabe muss also, erst recht im Abitur, so gestellt sein, dass keine Zweifel bestehen, was gemeint ist. Wie Sie es formulieren, "im normalen Sprachgebrauch", ist für die Mathematik nnun mal nicht zu benutzen.

Ich finde es in diesem Zusammenahng auch schade, dass sie nicht auf mein kleines Beispiel mit den Tischen und Stühlen eingegangen sind. Mich würde interessieren, was Sie da zwischen den Zeilen gelesen hätten, bzw. welche Lösung der "normale Sprachgebrauch" impliziert hätte.

Falls Sie also antworten sollten, würde e smich freuen, wenn sie sich zu folgenden Sachverhalten äußern würden.

1) wie sie die Frage (3) verstanden hätten

2) wie sie das von mir erwähnte Bsp. aufgefasst hätten

MfG

Philip S.

--> Philip S.

Genau 4-mal werfen zu lassen, wäre ein schlechter Ansatz, denn mit genau 4 Würfen erreicht man immer höchstens 4 Treffer.

Aufgabe (b) gibt keine Wurfzahl vor und sagt daher folgendes: Tritt an, beginne zu werfen und versuche ausgehend vom ersten Wurf mehr als 4 Treffer in ununterbrochener Reihenfolge zu erzielen.

Offensichtlich entscheidet sich spätestens mit dem 5. Wurf, ob "höchstens 4 Treffer in Serie" oder "nicht höchstens 4 Treffer in Serie" eingetreten sind. Letzteres ist hier genau dann wahr, wenn mit diesen 5 Würfen 5-mal getroffen wurde.

Als Lösungsmodell bietet sich also an: Es wird genau 5-mal in die idealisiert-große Wurfkiste des Herrn N. gegriffen, in der die Treffer- und Fehlwürfe im Verhältnis entsprechend der Vorgabe liegen. Es gilt dann:

w(höchstens 4er-Trefferserie gezogen) = 1 - w(5er-Trefferserie gezogen).

Zu Ihrem Stühle-Tische-Beispiel.

Spontan würde ich als Lösungsmodell vorschlagen: In einer Ziehungskiste liegen 20 Kugeln (Stühle), jeweils 5 mit gleicher "Farbe" (Tisch1 bis Tisch4). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaliger Ziehung zweimal die gleiche Farbe zu ziehen.

Etwas Entscheidendes muss dabei noch festgelegt werden: Ziehung mit oder ohne Zurücklegen? Ihr Aufgabentext sagt dazu explizit nichts Entsprechendes. Es muss zwischen den Zeilen gelesen werden: Wenn nichts anderes gesagt wird, kann ein Stuhl nur einmal besetzt werden. Also Ziehung ohne Zurücklegen.

Als Lösungsmodell könnte auch vorgeschlagen werden: Ziehungskiste mit 5 verschiedenen Kugeln (Tischen) und zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen usw.

Welches Modell das bessere oder zur Aufgabenstellung passendere ist, liegt außerhalb des Mathematik-Instrumentariums. Selbstverständlich muss dabei ein solches Modell immer all Ihren aufgestellten Exaktheits-Anforderungen genügen, um dann mit diesem Instrumentarium lösbar zu sein.

Bleibt für mich weiterhin übrig: Wie darf eine Mathematikaufgabe im Zentralabitur gestellt werden? Muss sie den Charakter eines ausformulierten Modells haben und der Proband kann "einfach losrechnen", oder darf es ein "allgemeiner" formuliertes Problem sein, zu dem erst ein (passendes) Lösungsmodell aufgestellt werden muss.

@ Hubert S.

Zuerst einmal freue ich mich dass sie mir geantwortet haben.

<leider kommen wir bei der Aufgabe aber noch nicht überein.

Ihr Lösungsansatz besteht darin, Nowitzki 5 mal werfen zu lassen (bzw. 5 Kugeln zu ziehen) und begründen dies damit, das spärestens nach 5 Würfen klar sei, ob er höchstens eine 4er Serie geworfen hat. Aber was spricht dagegen, ihn noch ein sechstes mal werfen zu lassen, wenn er die ersten 5 Würfe getroffen hat? Oder was ist wenn er den ersten nicht trifft, dann vier mal trifft? Vielleicht trifft er den nächsten auch und dann hätte er die 5er Serie.

Sie setzten bei ihrem Lösungsansatz impliziet die Wurfzahl auf 5 fest und lassen ihn nicht weiter wwerfen, egal was vorher passiert. Dann erhält man natürlich andere Ergebnisse als mit z. B. 6 oder 7 Würfen. Aber warum ist 5 plausibler als ein anderer Wert?

Mit ihrer Bermerkung zu dem Stuhlbsp. haben Sie natürlich recht: wenn nicht explizit erwähnt ist, dass ein Stuhl nur einmal zu besetzten ist wäre die Aufgabe immer nooch nicht eindeutig.

Da sieht man mal wie schwer es ist, eindeutig zu formulieren:)

Ihr Lösungsansatz mit 2maligen Ziehen mit zurücklegen entspricht ja der Annahme, dass alle Tische gleich wahrscheinlich sind, unabhängig davob ob schon einer da sizt oder nicht. Warum sie diese Variante der anderen vorziehen haben sie mir aber leider nicht verraten.

Nun zu ihrer frage:

wie wir hier schön demonstrieren lässt sich offensichtlich trfflich über Formulierungen streiten, es gibt verschiedene Interprtationen ein und desselben Sachverhalts und niemand wird sagen können, wer denn nun Recht hat. Solche Zustände sind wünschenswert in Diskussionsforen, aber nicht in Abitur-Klausuren. Zudem muss auch immer eine Vergleichbarkeit der Ergbenisse gewährleistet sein. Es kann zum Beispiel nicht sein, dass in der entsprechenden Mathe-Prüfung ein Schüler ihre Meinung vertritt, die Aufgabe für 5 Würfe löst, und ein anderer wählt zum Bsp. den Wert 10, wie in den vorherigen Aufgaben und beide erhalten die gleiche Note, weil sich beide auf die allgemein gestellte Aufageb einen Lösungsweg überlegt haben (nehmen wir dabei mal an, beide haben sich nicht verrechnet). Ich finde inKlausuren muss klar sein, was zu tun ist, damit alle auch das gleiche rechnen, somit die gleiche Zeit für die einzelnen aufgaben aufwenden müssen und die Ergebnisse auch klar und fair bewertet werden können.

--> Philip S.

Ich entnehme Ihren Ausführungen, dass Sie anscheined in der Vorstellung gefangen sind, es könne auch im Aufgabenteil (c) nur darum gehen, in einem vorgegebenen Wurfrahmen nach irgendwo auftretenden Trefferserien zu forschen, und der Aufgabensteller hat nun leider vergessen, mit einer Wurfzahl-Angabe diesen Rahmen festzulegen.

Darum geht es hier aber nicht, zumindest entnehme ich der Fragestellung etwas anderes, da eben keine Wurfzahl vorgegeben wird: Es geht darum, bei Herrn N. festzustellen, wie sein Können bei einem Trefferserien-Test beginnend mit dem e_r_s_t_e_n Wurf (mit welchem sonst!) aussieht.

Und es wird gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit er dabei, beginnend mit dem e_r_s_t_e_n Wurf, höchstens eine 4er-Trefferserie erreicht.

Mit 0 = Fehlwurf und 1 = Treffer bieten sich folgende Vorüberlegungen an:

Für alle Wurffolgen, die mit 0 oder 10 oder 110 oder 1110 oder 11110 beginnen, gilt: "höchsten 4er-Trefferserie erreicht".

Für alle Wurffolgen, die mit 11111 beginnen, gilt: "nicht höchstens 4er-Trefferserie erreicht".

Ein "5er-Wurfrahmen" scheint mir als Lösungsmodell am elegantesten zu sein. Man könnte aber auch einen größeren Rahmen wählen, dann allerdings mit etwas umständlicherer Auswertung. Weniger als 5 wäre nicht angepasst.

Noch einmal zu Ihren Tischen und Stühlen.

Ich ziehe keine der angegebenen Lösungsvarienten vor. In beiden Fällen hätte der Proband "gewusst was er tut" und sein Mathe-Instrumentarium korrekt angewendet. Warum sollten zu einem Problem nicht mehrere unterschiedliche Lösungsmodelle passen?

@ Hubert S.

Was Sie meinen Ausführungen entnehmen ist richtig: die Wurfzahl-Angabe wurde vergessen festzulegen :)

Ohne eine festgelegte Wurfzahl ist nicht klar, wieviele verschiedene Möglichkeiten es gibt oder in ihrem Beispiel gesprochen, ob ich die Ereignisse 1111100 und 1111110 und 1111111 noch beücksichtigen muss (wenn man zum Beispiel 7mal werfen lässt), mal von 0011111 oder ähnlichen Permutationen mal ganz zu schweigen.

Nochmal anders formuliert:

Sie schreiben (zu recht):

Für alle Wurffolgen, die mit 11111 beginnen gilt: "nicht höchstens 4 Treffer"

Aber wieviele Wurffolgen sind das denn? Wenn sie eine Antwort auf die Aufgabe finden wollen müssen sie ja die Anzahl aller Wurffolgen mit höchstens 4 Treffern teilen durch die Anzahl aller Wurffolgen (Laplace oder Gleichverteilungsannehme). Wenn aber nicht klar ist, wie oft geworfen wird, kann die an zweiter Stelle genannte Größe nicht bestimmt werden!

Auch Sie sind nur in der Lage eine Lösung zu präsentieren, indem Sie die Wurfzahl willkürlich auf 5 festlegen. Sie sagen dieser Rahmen erscheint ihnen am elegantesten, in Wirklichkeit ist er schlicht am einfachsten.

Was ihren Kommentar zu den Tischen und Stühlen angeht, stimme ich iin diesem Fall mit Ihnen überein: beide Antworten könnten als richitg gewertet werden, was aber der große Unterschied zu der Abiturfrage ist, ist dass sich der Aufwand bei Tischen und Stühlen kaum unterschiedet. Ob ich jedoch, wie Sie es vorschlagen, eine 5er Serie betrachte oder eine Serie größerer Länge hat einen enromen Einfluss auf den Aufwand, welcher zur Lösung der aufgabe betrieben werden muss

Ich hoffe, dass ich Sie nun überzeugen konnte, dass

1) eine Wurfzahlangabe nötig ist

2) auch Sie diese Angabe in ihrem Lösungsanstz verwenden

3) wie interessant es sein kann, über Mathematik zu disskutieren :)

-> Philip S.

Nein, Sie konnten mich nicht überzeugen.

Der Kern der Sache ist : Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Wurffolge z.B. mit 11111 beginnt, ist unabhängig von der Anzahl der weiteren Würfe (hier über 5 hinausgehend).

Das ist plausibel, da ja an dem Ereignis des Auftretens der 5 Treffer hintereinander, beginnend mit dem ersten Wurf, bei beliebiger Verlängerung nichts mehr geändert werden kann.

Vielleicht hilft ein Rechenbeispiel :

-------

Es stehe 0 für Fehlwurf und 1 für Treffer.

Es gelte für die Treffer/Fehlwurf-Wahrscheinlichkeiten eines Wurfes :

w(1)=p und somit w(0)=1-p.

Eine Wurffolge F der Länge n mit einem bestimmten Treffer/Fehlwurf-Muster trete mit der Wahrscheinlichkeit w(F) ein.

Frage : Mit welcher Wahrscheinlichkeit w(Fx) tritt eine Wurffolge Fx der Länge n+1 ein, deren erste n Würfe mit denen von F übereinstimmen.

Mögliche Wurffolgen für Fx sind : (F,1) oder (F,0) mit den Wahrscheinlichkeiten

w(F,1)=w(F)*p und w(F,0)=w(F)*(1-p)

somit

w(Fx) = w(F,1) + w(F,0) = w(F)

-------

Mit einer Wurffolge der Länge 5 wählte man oben also nur die kürzeste aller (gleichberechtigten) möglichen Längen.

Überzeugt?

@ Hubert S.

Sie sind also nach wie vor der Meinung, dass die Wurfzahlangabe nicht nötig ist, bzw dass die Antwort unabhängig von der Anzahl der durchgefürhten Würfe ist. Was mich fast noch am meisten wundert, ist dass sie immer noch der meinung sind, die Aufgabe sei lösbar, obwohl sie offensichtlich nicht lösbar (zumindest nicht eindeutig) ist, sonst wäre diese Aufgabe doch niemals irgendwo aufgetaucht. Dass sich hier neben meiner wenigketi noch unzählige andere dieser Meinung angeschlossen haben und nur sie anderer Meinung sind, scheint sie nicht weiter zu stören. Ich weiß auch nicht, was sie für evtl. Aussage über mathematische Aufgaben befähigt, ich studiere Mathematik und habe Vorlesungen in Statistik sowie Wahrscheinlichkeitshteorie gehört und erfolgreich geprüft und ich sage Ihnen:

die Wurfzahlangabe ist notwendig, da das Ergebnis davon abhängt. Dies habe ich auch in meiner letzten Nachricht deutlich gemacht, auf dessen Inhalt sie leider nicht eingegangen sind. Aber auch ich möchte Ihnen noch eine Chance geben, mir zu glauben und biete Ihnen auch ein Rechenbeispiel.

Bleiben wir bei Ihrer Notation (1=Treffer, 0=Fehlwurf). Zunächst die Aufgabenstellung:

„Aufgabenstellung: Der deutsche Basketball-Profi Dirk Nowitzki spielt in der amerikanischen Profiliga NBA beim Club Dallas Mavericks. In der Saison 2006/2007 erzielte er bei Freiwürfen eine Trefferquote von 90,4 %.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er

(1) genau 8 Treffer bei 10 Versuchen erzielt,

(2) höchstens 8 Treffer bei 10 Versuchen erzielt,

(3) höchstens vier Mal nacheinander bei Freiwürfen erfolgreich ist. (12 Punkte).

Interessant ist ja Teil (3)

Lassen wir Ihn 5 mal werfen (so wie Ihre

Lösung das vorsieht). Die W-keit, höchstens 4 mal zu treffen ist gleich 1-P(5), also 1 minus der Wahrscheinlickeit, dass er 5 mal trifft. Also circa 0.4, nämlich 1-0.9^5 (bei einer Trefferw.keit von 0.9). Wenn er aber 6mal wirft (und in der Aufgabe steht nicht , dass er das nicht tut) ist die W.keit, dass er höchstens 4mal hintereinander trifft:

1-P(5)-P(6). Die Wahrscheinlichkeit, dass er 6mal trifft ist 0.9^6 oder 0.5314. Die W.keit, dass er 5 mal hintereinander trifft enspricht den folgenden beiden Wurreihen

011111 und 111110. Die W.keit dafür ist 0.9^5*0.1*2=0.1181

Demnach ist die W.keit, dass er höchstens 4mal hinterienander trifft bei 6 Würfen 1-0.53-0.12=0.35

Und diese W.keit wird umso geringer, je öfter er werfen darf. Wenn sie mir nicht glauben wollen halten sie sich eine Tatsache vor Augen:

bei 5 Würfen ist die W.keit, höchstens 4 mal zu treffen eine andere, als wenn er 6 mal wirft. In der Aufgabe steht nicht wie oft er wirft, also ist die Aufagbe nicht lösbar!

Nachtrag @ Hubert S.

wie ich gerade gesehen habe argumentierte DR. Manzke am 31.5.2008 fast auf dei gleiche Art, jedoch semantisch verständlicher :)

wenn sie mir nicht glauben lesen sie doch einfach zusätzlich seinen Beitrag

-> Philip S.

Ich habe es befürchtet. Sie haben mir leider bisher in keiner Weise "zugehört". Und Sie haben nicht bemerkt, dass wir in verschiedenen Szenarien argumentieren.

Sie forschen nach wie vor in einer festgelegten Wurffolge nach Trefferserien, die i_r_g_e_n_d_w_o in der Wurffolge angesiedelt sein können. Ihre dabei aufgestellten Wahrscheinlichkeits-Überlegungen scheinen soweit richtig zu sein (wobei ich in einer solchen Abhandlung die eingestreuten Dezimalzahlen-Monster als außerordentlich störend empfinde).

Meine Interpretation der Aufgabenstellung (s. vorangegangene Beiträge) führt aber in ein anderes Szenario. Für mich ist diese Interpretation "selbstverständlich", andere mögen da zurückhaltener sein.

Der Aufgabensteller will das Können des Herrn N. in einer Wurfserie getestet wissen, bei der es um Treffer in ununterbrochener Reihenfolge beginnend mit dem e_r_s_t_e_n Wurf geht. Und das führt z.B. zu einer anderen Betrachtungsweise der in Ihrem Beispiel aufgeführten Wurfserie 011111:

während Sie dieser Wurfserie das Prädikat "5 Treffer hintereinander" zusprechen, gilt hier "höchstens 4 Treffer hintereinander", da ja bereits der erste Wurf daneben ging.

Was nun?

@ Hubert S.

Fangen wir hinten an:

wenn man die ganze Wurfserie "011111" betrachtet, wurden mehr als 4mal hintereinander getroffen, auch wenn der erste Wurf daneben ging. Deswegen spielt ja auch die Anzahl der Würfe eine Rolle.

Mir ist aber nun auch klar, wie Ihr Szenario aussieht, bzw. wie sie die Aufgabe verstehen. Jedoch finde ich die Aufgabe auch für dieses Szenario immer noch nicht gut genug gestellt.

Hätte es stattdessen geheißen: "Wie groß ist die W.keit, dass N. höchstens 4 der NÄCHSTEN Freiwürfe versenkt?"

Dann wäre klarer, dass sozusagen ab jetzt gezählt wird, und wenn er den ersten nicht trifft hat er verkackt.

Da die Frage aber allgemein formuliert war und zudem in den Aufgaben zuvor eine Wurfzahl angegeben wurde, kann ich mich der Formulierung der Aufagbe nicht naschließen.

Jedoch glaibe ichm je länger ich darüber nachdneke, dass der Autor der Aufgabe wohl ihr Szenario im Kopf hatte, als er die Aufgabe schrieb.

Insofern können wir die Diskussion an dieser Stelle wohl abschließen, ich würde mich aber natürlich trotzdem noch über eine letzte Antwort freuen ;)

mfg

Philip

--> Philip S.

Ok. Aber wenn an Ihren Vorschlag >>Hätte es stattdessen geheißen: "Wie groß ist die W.keit, dass N. höchstens 4 der NÄCHSTEN Freiwürfe versenkt?"<< nicht noch die große Feile angesetzt würde, hätte das bei Verwendung beim Zentralabitur zu einer neuen Diskussion ähnlicher Art führen können :) .

diese diskussion zeigt mir ganz deutlich, dass die schüler sogar im fach mathematik die gedanken ihrer lehrer lesen können sollten, um ihren erwartungshorizont zu treffen. wobei erschwerend noch hinzukommt, dass auch diese seltene fähigkeit nichts nützt, wenn die lehrer selbst die aufgabe nicht begriffen haben und das lösungsblatt bei ihnen zu hause auf dem schreibtisch liegt ...

ps:

angeblich wurde in einem bundesland nach vielen peinlichen pannen bei den selbstgemachten aufgaben die erstellung der aufgaben fürs zentralabitur sogar für viel geld extern vergeben.

wo finde ich da gegebenfalls genaueres?

Die Prüfungsaufgaben für Tischler (Mathe) wimmeln ebenso von Fehlern , wie auch die Aufgaben für Multimediagestalter (Mathe)... Ist ja nichts "Neues".